cubic-equation-solution2

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定数分離すると\ $\bunsuu{x^3}{3x^2-4}=a$\ となり,\ 数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}Iの微分が必要になる. \\  数I\hspace{-.1em}Iの範囲で求めるために,\ \textbf{\textcolor{blue}{極値の積で場合を分ける方法}}を習得しよう. \\\\  まず,\ そもそも\textbf{\textcolor{red}{極値をもつか否か}}の確認が必要である. \\  これは,\ $f'(x)=0について,\ 判別式D>0かD\leqq0で場合分けされる.$ \\  3次関数は,\ \textbf{\textcolor{red}{極値をもたない場合($\bm{D\leqq0}$),\ 単調増加(減少)}}する. \\  よって,\ このとき,\ \textbf{\textcolor{red}{実数解($\bm{x}$軸との共有点)は1個}}である. \\\\\\  以下,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{極値をもつ場合($\bm{f'(x)=0のD>0}$)}}を考える. \\  \textbf{\textcolor{red}{$\bm{x}$軸との共有点が1個・2個・3個}}となるときのグラフが次である. \\ 実数解が1個になる条件}}を考える. \\  このとき,\ 図形的には\fbox{1}の2パターンが考えられる. \\  この2パターンをどういう条件で表現するかがポイントになる. \\[1zh]  本問は,\ $f'(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)\ より,\ x=0,\ 2aで極値をとる.$ \\  $0と2aの大小関係により,\ どちらで極大・極小をとるかが変わる.$ \\  よって,\ $\bm{\textcolor{purple}{0と2aの大小の場合分けが必要}}になり,\ この表現は面倒である.$ \\\\\\  他の表現は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{極大値と極小値の\ 両方が正\ または\ 両方が負}}\ である. \\  ここで,\ 次の同値関係を利用する. \\[.2zh]  結局,\ \textbf{\textcolor{magenta}{実数解が1個となる条件\fbox1}}は, のみで表される.$ \\\\  \textbf{\textcolor{magenta}{実数解が2個となる条件\fbox2}}は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{極大値か極小値の一方が0}}である. \\  つまり,\ $\bm{\textcolor{red}{f(0)f(2a)=0}}$\ である. \\\\  \textbf{\textcolor{magenta}{実数解が3個となる条件\fbox3}}は,\ \scalebox{0.98}[1]{$\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{f(0)とf(2a)の一方が正で他方が負}}である.$} \\  結局,\ \textbf{\textcolor{blue}{3次方程式の実数解の個数}}は,\ 次のように簡潔に分類される. \\  $f'(x)=0の判別式をD,\ 2つの実数解を\ \alpha,\ \beta\ (大小は不明)とすると$ \\[.5zh]  $f(x)=x^3-3ax^2+4a\ とおくと f'(x)=3x^2-6ax=\textcolor[named]{ForestGreen}{3x(x-2a)}$ \\\\  $[1]\ \textcolor{cyan}{a=0}のとき,\ f'(x)=3x^2\geqq0\ より,\ f(x)は単調増加する.$ \\[.2zh]  \phantom{$[1]$}\ よって,\ このとき,\ $f(x)=0の\textcolor{red}{実数解は1個}である.$ \\[. まず,\ 実数解が1個になる\ D\leqq0\ の場合を考える. \\ f'(x)が因数分解できるなら,\ D\leqq0ではなく,\ 2個の解が一致する条件を考える. \\ 本問は,\ 0=2aより,\ a=0のとき2つの異なる実数解をもたない. \\ 実際には,\ 常に\ f'(x)\geqq0\ を示し,\ 単調増加することを記述しておく. x=0,\ 2aで極値}をとる.$  {\normalsize $[\textcolor{brown}{0と2aの大小関係は不明}]$} \\[.2zh]     $\textcolor{cyan}{a\neqq0}より -a^2+1=0    よって a=\pm1$ \\[.2zh]     このとき,\ $f(x)=0$の\textcolor{red}{実数解は2個}である. \\\\     このとき,\ $f(x)=0$の\textcolor{red}{実数解は3個}である. \\\\\\ a\neqq0\ のとき,\ 常に\ 16a^2>0\ であるから,\ 両辺を16a^2で割ることができる. \\ よって,\ いずれも2次方程式・不等式に帰着する.