和の期待値と積の期待値の公式

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以下の公式(数B)は実戦で大変役立つので,\ 早い段階で習得しておくことが望ましい. \\\\ {E(aX+b)=aE(X)+b}}{E(X+Y)=E(X)+E(Y)}} X,\ Yが独立}}}のとき \bm{\textcolor{red}{E(XY)=E(X)\cdot E(Y) [1]\ \ \bm{変数Xをa倍してb足した値の期待値を求めたければ,\ Xの期待値をa倍してb足せばよい.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 下で証明するが,\ 期待値が結局は平均であることを考慮すると,\ 直感的に納得できる. \\[1zh] [2]\ \ \bm{和の期待値を求めたければ,\ 期待値の和を求めればよい.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{事象X,\ Yが独立でないときも常に成り立つ}ため,\ 汎用性が非常に高い. \\[1zh] [3]\ \ \bm{事象X,\ Yが独立のときに限り,\ 積の期待値を求めたければ,\ 期待値の積を求めればよい.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 「事象の独立」の項で述べたように,\ 2つの事象が独立か否かの判断は簡単にできないことが多い. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 独立が明らかなとき以外は利用すべきではなく,\ 使用機会はかなり限られる. \\\\ X,\ Yのとる値がそれぞれ3個,\ 2個の場合の証明を示す.\ \ n個でも同様である. \\[1zh] X=x_1,\ x_2,\ x_3\,をとる確率をそれぞれp_1,\ p_2,\ p_3\,とする(\,p_1+p_2+p_3=1\,). \\[.2zh] Y=y_1,\ y_2\,をとる確率をそれぞれq_1,\ q_2\,とする(\,q_1+q_2=1\,). \\[.2zh] また,\ X=x_1\,かつY=y_1\,をとる確率をr_{11}\,のように表す. \\[.2zh] このとき,\ r_{11}+r_{12}=p_1,\ r_{11}+r_{21}+r_{31}=q_1\,などが成り立つ. \\[.2zh] まとめると右表のようになる(同時確率分布). \\[-5zh] 同様にして\bm{E(X-Y)=E(X)-E(Y)}が成り立つこともわかる. \\[.2zh] 3変数以上のときも成り立つ. \bm{E(X+Y+Z)}=E(X+Y)+E(Z)=\bm{E(X)+E(Y)+E(Z)} \\[.2zh] [1]と[2]を組み合わせると \ \ \ \,\bm{E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)} \\\\ X,\ Yが独立であるとは,\ r_{ij}=p_iq_j\,が成り立つということであった. \\[.5zh] 1つのサイコロを2回振るとき,\ 1回目に出る目を$X$,\ \ 2回目に出る目を$Y$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $2X-1$の期待値$E(2X-1)$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $X+Y$の期待値$E(X+Y)$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $(X+Y)^2$の期待値$E((X+Y)^2)$を求めよ. \\  (3)\ \ $E((X+Y)^2)=E(X^2+2XY+Y^2)=\textcolor{red}{E(X^2)+2E(XY)+E(Y^2)}$ (1)\ \ \bm{E(aX+b)=aE(X)+b}を利用する.\ 期待値の定義で求める別解よりもわずかに楽になる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ (期待値)=(平均)という観点から,\ 本問のE(X)を瞬時に求める裏技がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ Xがとる全ての値が等間隔かつ等確率なので,\ 平均は\,\bunsuu{1+6}{2}=\bunsuu72\ (最小と最大の中央)となる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 数列(数\text B)の知識を借りれば,\ Xがとる全ての値(n個)が等差数列をなし,\ かつ等確率のとき \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \  E(X)=(a_1+\cdots+a_n)\times\bunsuu1n=\bunsuu12n(a_1+a_n)\times\bunsuu1n=\bunsuu{a_1+a_n}{2} (検算用公式) \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 別解でも適用できる.  E(2X-1)=\bunsuu{1+11}{2}=6 \\\\ (2)\ \ \bm{E(X+Y)=E(X)+E(Y)}を利用するか否かで計算量・思考量に雲泥の差が生まれる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公式を利用すると,\ n回振るときの和の期待値であっても直ちに\,\bunsuu72nと求まる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 公式を利用しない場合,\ X+Yのとる値は2から12までの11通りがある(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ X+Y=4となる組合せは,\ (X,\ Y)=(1,\ 3),\ (2,\ 2),\ (3,\ 1)の3通りである. \\[1zh] (3)\ \ X+YとX+Yは,\ 当然独立ではない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ E((X+Y)^2)=E((X+Y)\cdot(X+Y))=E(X+Y)\cdot E(X+Y)としてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{展開すると期待値の和に分割でき,\ E(X^2),\ E(XY),\ E(Y^2)を求めることに帰着する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ XとXも当然独立ではないので,\ E(X^2)=E(X)\cdot E(X)としてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一方,\ 1回目の試行と2回目の試行は明らかに独立である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 試行S,\ Tが独立ならば,\ Sで起こる事象AとTで起こる事象Bも独立となるのであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ E(XY)=E(X)\cdot E(Y)を利用できる. 1から9までの数字が1つずつ書かれている9個の玉がある.\ この中から無作為に3個 \\[.2zh] \hspace{.5zw}選んで並べてできる3桁の数字の期待値を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\[1zh]   百の位の数字を$X$,\ 十の位の数字を$Y$,\ 一の位の数字を$Z$とする.   3桁の数字の期待値はE(100X+10Y+Z)}{100E(X)+10E(Y)+E(Z)}= \bm{3桁の数字を100X+10Y+Zとみなすと分割でき,\ 各位の期待値を求めることに帰着する.} \\[.2zh] 本問のX,\ Y,\ Zは独立ではないが,\ E(X+Y)=E(X)+E(Y)は独立でなくとも成り立つ. \\[.2zh] 安心して各位ごとの期待値を求めればよく,\ 公式の汎用性の高さがわかるだろう. \\[1zh] X=1となる確率は,\ 3桁の数字の順列を全事象にとると\,\bunsuu{1\cdot\zyunretu82}{\zyunretu93}=\bunsuu19\,となる. \\[.8zh] \bm{百の位の数字のみを全事象にとる}と早い.\ \ 1から9までの9通りが同様に確からしいから\,\bunsuu19\,である. \\[.8zh] 同様に,\ X=2,\ \cdots,\ 9となる確率もそれぞれ\,\bunsuu19\,である.\ また,\ Y,\ Zについても同様である. \\[.8zh] 検算用公式を使うと\,\bunsuu{1+9}{2}=5となる. \\\\ 別解は,\ 期待値の定義に従って(123+124+\cdots+987)\times\bunsuu{1}{\zyunretu93}\,を求めるものである. \\\\ 簡単のため,\ 1から3までの数字から3個選んで並べてできる3桁の整数の和を求めることを考える. \\[.2zh] これは\,\zyunretu33=6個の3桁の整数の和になる.\ 具体的には 6個の3桁の整数の百の位には,\ 1と2と3がそれぞれ2回ずつ現れている. \\[.2zh] 百の位が1の時他の位の数字の並べ方が\,\zyunretu22=2通りあるからで,\ 百の位が2,\ 3の時も同様である. \\[.2zh] 以上から,\ 百の位の和が(1+2+3)\times\zyunretu22\times100で求められるとわかる. \\[.2zh] 同様に,\ 十の位の和は(1+2+3)\times\zyunretu22\times10,\ 一の位の和は(1+2+3)\times\zyunretu22\,となる. \\[.2zh] これをすべて足し合わせると,\ (1+2+3)\times2\times(100+10+1)=6\times2\times111=1332となる. \\[1zh] 本問の場合は他の位の数字の並べ方が\,\zyunretu82\,通りあるから,\ 解答のように求められる. 点Pは,\ 原点を出発点として,\ $x$軸上をサイコロを1回投げて1,\ 2,\ 3,\ 4の目が出たと \\[.2zh] \hspace{.5zw}きは正方向に2進み,\ 5,\ 6の目が出たときは負方向に1進む.\ サイコロを3回投げる \\[.2zh] \hspace{.5zw}とき, 点Pの$x$座標の期待値を求めよ.  1,\ 2,\ 3回目にサイコロを投げたときの点Pの$x$座標の変化をそれぞれ$X,\ Y,\ Z$とする. 最終的なx座標は1回ごとの変化の和であるから,\ 期待値の和の公式を利用できる. \\[1zh] 期待値の定義で求めるとき,\ 反復試行の公式を利用することになる(別解). \\[.2zh] 同じ試行をn回繰り返すとき,\ 確率pの事象Aがr回起こる確率は \ku
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