ランダムウォーク(反復試行による点の移動)

原点を出発点とし,\ $x$軸上を動く点Aがある.\ サイコロを1回振って3以 上の目が出ると正の向きに1進み,\ 2以下の目が出ると負の向きに1進 む.\ サイコロを6回振るとき,\ 次の確率を求めよ.  点Aが6回目に$x=5$にいる確率.  点Aが6回目に$x=4$にいる確率.  点Aが2回目に原点に戻り,\ かつ6回目に原点に戻る確率.  点Aが6回目にはじめて原点に戻る確率. 3以上の目がn回出る}$2n-6=5\ となる自然数nは存在しない.}$ 3以上の目と2以下の目が同じ回数出るとき,\ 原点に戻る. 正の向きに1進む}(確率\ 負の向きに1進む}(確率\ が対応する. 4通り}の経路を辿るとき,\ 6回目にはじめて原点に戻る. \ サイコロを繰り返し振るとき,\ 各回は独立であるから,\ {反復試行}となる. 総回数が6回であることは決まっている. 後は,\ 3以上と2以下が何回ずつ出ると条件を満たすかを考えればよい. 本問程度ならすぐわかるが,\ 応用性を考えると数式で求めるべきである. 3以上の目がn回出るとき,\ 2以下の目は6-n回出ることになる. {n回は+1進み,\ 6-n回は-1進むと考え,\ 6回振った後の位置を数式で表す.} \ 最終的な位置2n-6が5となるような回数nを求める. \ しかし,\ 方程式を解いてみると,\ nは自然数にならない. \ これは,\ {6回振った後5となる場合があり得ない}ことを意味している. \ 方程式を解くと,\ 3以上の目が5回,\ 2以下の目が1回出ればよいとわかる. \ 後は,\ 反復試行の確率として求めればよい. \ 2回で原点に戻るのは,\ つまり,\ 3以上の目が1回,\ 2以下の目が1回出る場合である. \ さらに,\ そこから4回で再び原点に戻る必要がある. \ つまり,\ 3以上の目が2回,\ 2以下の目が2回出ると原点に戻る. \ 後は,\ 2回で原点に戻る確率と4回で原点に戻る確率を掛ければよい. \ 条件が複雑になると,\ 単純に反復試行の公式で求めることができなくなる. \ この場合,\ {回数と位置を座標軸とする平面をとり,\ 最短経路問題に帰着させる.} \ {1次元の運動を2次元的に表現すると,\ 視覚的に把握できる}のである. \ 本問程度であれば,\ 経路数が4通りであることはすぐわかる. \ 通常は,\ 最短経路問題の最強手段である{和の法則による数え上げ}を行う. \ つまり,\ ある格子点までの経路数が次のように計算できる. \ {(左上の格子点までの経路数)+(左下の格子点までの経路数)} \ 4通りの経路は,\ いずれも\ \NE\ が3個,\ \SE\ が3個ある. \ 1つの経路をとる確率はであり,\ 4を掛けると求める確率となる.
タイトルとURLをコピーしました