サイコロの出る目の積の確率、「少なくとも~」かつ「少なくとも~」の確率

スポンサーリンク
n$を自然数とする.\ \ 1つのサイコロを$n$回振るとき,\ 出る目の積を$X$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $X$が素数となる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $X$が6となる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $X$が12となる確率を求めよ.サイコロの出る目の積の確率}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ \textcolor{cyan}{2または3または5の目が1回},\ \textcolor{magenta}{1の目が$n-1$回}が出ればよい. \\[.5zh] 3か5の目が1回出る確率も同じなので1の目が$n-1$回}出る確率は 2と3の目がそれぞれ1回ずつ},\ \textcolor{magenta}{1の目が$n-2$回}出る確率は \互いに排反であるから,\ $X=6$となる確率は \\[.2zh]      n=1}のときも成り立つ){2と6の目がそれぞれ1回ずつ},{1の目が$n-2$回}出る確率は\ \ $n(n-3と4の目がそれぞれ1回ずつ}1の目が$n-2$回}出る確率は\2の目が2回,\ 3の目が1回1の目が$n-3$回}出る確率は \\[.2zh]      は互いに排反であるから,\ $X=12$となる確率は \\[.2zh] (1)\ \ 出る目の積が素数となるのは,\ \bm{出る目の1つが素数で残りの出る目がすべて1の場合}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1は素数(正の約数が1と自分自身の2個である自然数)ではない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{反復試行の確率}であり,\ n回のうち何回目に2,\ 3,\ 5の目が出るかは\,\kumiawase n1\,通りある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ 確率pの事象Aがr回,\ 確率qの事象Bがn-r回起こる確率は \kumiawase nrp^rq^{n-r} (2)\ \ 2パターン考えられる.\ \ [2]の方は少なくとも2回振る必要があるから,\ n\geqq2として考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n回のうちの2の目と3の目の出方は,\ ○△\underbrace{××\cdots×}_{n-2個}\ の並べ方に等しい. \\[1.3zh] \phantom{(1)}\ \ 異なるモノが3つ以上ある場合,\ \kumiawase nr\,ではなく\bm{同じモノを含む順列}の扱いで求めるとよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ n=1のとき,\ X=6となる確率は当然\,\bunsuu16\,である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ n^2\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu16\right)^nに試しにn=1を代入してみると\,\bunsuu16\,となり,\ 実際の確率と一致する. \\\\ (3)\ \ 3パターン考えられ,\ [1]と[2]は(2)の[2]と同様なのでその結果を利用した. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n=1のとき,\ X=12となる確率は当然0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n=2のとき,\ X=12となる確率は\,\bunsuu{4}{36}=\bunsuu19\,である. (2,\ 6),\ (6,\ 2),\ (3,\ 4),\ (4,\ 3) \\\\ \phantom{(1)}\ \ 最後,\ 和は因数分解する方向で整理する. \\[.2zh] n$を自然数とする.\ \ 1つのサイコロを$n$回振るとき,\ 出る目の積を$X$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $X$が偶数となる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $X$が3の倍数となる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $X$が4の倍数となる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $X$が6の倍数となる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ $X$が12の倍数となる確率を求めよ. \\ {二項定理(数I\hspace{-.1em}I)を利用 (1)\ \ Xが偶数(2の倍数)を言い換えると,\ \bm{「\,n回のうち少なくとも1回偶数の目が出る」}となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 「積がある数の倍数」には「少なくとも~」が隠れているため,\ \bm{余事象の利用}が有効である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{1-(\,n回すべて奇数の目が出る)}として求められる. \\[1zh] (2)\ \ \bm{1-(\,n回すべて3の倍数でない目が出る)}として求める. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 本項の問題は直接的に求めることも可能だが,\ 二項定理の知識を要する(別解).\ \ (2)のみ示す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{3の倍数の目が何回出るかで場合分けすると排反になる.} \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \  3または6の目がちょうど1回出るとき   3または6の目がちょうど2回出るとき   3または6の目がちょうどn-1回出るとき 3または6の目がちょうどn回出るとき   \phantom{(1)}\ \ これらは次の二項展開によって現れる式であり,\ \bm{和は逆方向に変形してまとめる}ことができる. (a+b)^n=\kumiawase n0a^n+\kumiawase n1a^{n-1}b+\kumiawase n2a^{n-2}b^2+\cdots+\kumiawase{n}{n-1}ab^{n-1}+\kumiawase nnb^n \\[.5zh] を無理矢理作る}必要がある.\ なお,\ \kumiawase n0=\kumiawase nn=1である. $n$回すべて奇数の目}が出る確率は2または6の目が1回},\ \textcolor{magenta}{奇数の目が$n-1$回}出る確率は \\ 4の倍数とならないのは,\ [1],\ [2]の2つの場合である. \\[.2zh] これらは\bm{互いに排反}であるから,\ その和を1から引けばよい.  (4)\ \ $\textcolor{cyan}{A:「少なくとも1回2,\ 4,\ 6が出る(Xが偶数)」}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{magenta}{B:「少なくとも1回3,\ 6が出る(Xが3の倍数)」}$ \bm{倍数条件は,\ 互いに素な(最大公約数が1である)整数の倍数条件に分割できる.} \\[.2zh] つまり,\ 「\,6の倍数」は「\,2の倍数かつ3の倍数」と分割でき,\ さらに以下のように言い換えられる. \\[.5zh]  \bm{「少なくとも1回偶数の目が出る(A)」}\ \bm{\underline{かつ}\ 「少なくとも1回3の倍数の目が出る(B)」} \\[.5zh] つまり,\ 本問は,\ \bm{「少なくとも~」かつ「少なくとも~」の確率}であり,\ やはり\bm{余事象を利用}する. \\[.2zh] 二重の「少なくとも~」は一見複雑だが,\ \bm{集合の観点でとらえるとほぼ機械的に処理できる.} \\[1zh] A\cap Bの余事象は,\ \bm{「偶数が1回も出ない(\kyouyaku{A})」\ \underline{または}\ 「\,3の倍数が1回も出ない(\kyouyaku{B})」}\ である. \\[.4zh] つまり,\ \bm{「\,n回とも1か3か5の目が出る」または「\,n回とも1か2か4か5の目が出る」}である. \\[.2zh] このとき,\ \bm{\kyouyaku A\,と\,\kyouyaku B\,が排反ではない}ことに注意すべきで,\ \bm{足した後で重複分を引く}必要がある. \\[.2zh] 結局,\ \kyouyaku A\cup \kyouyaku B=(\,n回とも1か3か5)+(\,n回とも1か2か4か5)-(\,n回とも1か5)となる. \\[.2zh] この確率を1から引いたものが求める確率P(A\cap B)である. \\[1zh] 実際には,\ 集合の記号を用いて\bm{数式で機械的に処理していく}のが理想である. \\[.2zh] \bm{ド・モルガンの法則}より \bm{\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}} \\[.2zh] \bm{ベン図}でとらえる場合,\ \bm{周りの部分が求めるA\cap Bであると考える}とわかりやすい. \\[1zh] なお,\ \bm{P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)は一般には成り立たない}のであった(参照:事象の独立と従属). \\[.2zh] よって,\ 偶数かつ3の倍数となる確率を,\ (1)と(2)の結果を用いて以下のように求めてはならない. \\ 計算結果は正答と一致するがたまたまであり,\ 正答の扱いとすることはできない. \\[.2zh] 実際,\ (5)を(2)と(3)を利用して同様に求めた場合,\ もはや計算結果と正答が一致しない. {A:「\,Xが4の倍数」}$  $\textcolor{magenta}{B:「\,Xが3の倍数」}$n$回とも1か5が出る}」または 12=2^2\cdot3より,\ 「\,4の倍数かつ3の倍数」と分割することができる. \\[.2zh] 2と6は互いに素ではないから,\ 2の倍数かつ6の倍数と分割してはならない. \\[.2zh] 実際,\ 6は2の倍数かつ6の倍数だが,\ 12の倍数ではない. \\[1zh] P(\kyouyaku A),\ P(\kyouyaku B)は(4)までに一度求めているから,\ 後はP(\kyouyaku A\cap \kyouyaku B)が求められるかが問われる. \\[.2zh] まず,\ \bm{\kyouyaku B\,となるためには,\ n回とも1か2か4か5の目が出なければならない.} \\[.2zh] さらに,\ \bm{\kyouyaku A\,となるためには,\ 4の目が出てはならず,\ かつ2の目が出るのが1回以下であればよい.} \\[.2zh] 結局,\ 解答のような2つの場合がありえるわけである. \\[.2z
スポンサーリンク
スポンサーリンク
高校数学A 確率
受験の月をフォローする
受験の月
タイトルとURLをコピーしました