1回の試合でAが勝つ確率が$\bunsuu13$であるとき,\ 次の確率を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ Aが1勝した時点で終了するとき,\ $n$回以内の試合で終了する確率 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ Aが3勝した時点で終了するとき,\ $n$回以内の試合で終了する確率 \\ 反復試行の確率（$\bm{n}$回以内に$\bm{k}$回勝つ）}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ \textcolor{red}{余事象はAが$n$回目の試合まで全敗する事象}であるから 試合回数で場合分けして直接的に求める(数列の知識が必要) 直接的に求めようとすると面倒だが(別解),\ \bm{余事象を利用する}とあっさりと解決する. \\[.2zh] 余事象は「\,n回以内で終了しない」,\ 言い換えると\bm{「\,n回でAが0勝」}である. \\[.2zh] 本問は,\ パターン暗記ではなく,\ 初見で余事象の利用に気付いて解けるかが重要である. \\[.2zh] 常に余事象の利用を意識しているかどうかが問われるわけである. \\[1zh] 別解は,\ \bm{(1回で終了)+(2回で終了)+\cdots+(n回で終了)}を計算するものである. \\[.2zh] n回で終了する場合は,\ n-1回連続負けて最後の1回だけ勝つ確率を求めることになる. \\[.2zh] 立式自体は簡単だが,\ 問題はその後の計算である. \\[.2zh] nが具体的な数字ならばゴリ押しも可能だが,\ 文字nがあるので数\text B:数列の知識を要する. \\[.2zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r}\ \ (r\neqq1) 余事象はAが$n$回目の試合までに0\,～\,2勝する事象}であるから, 終了までに少なくとも3回は試合することになるので,\ \bm{n\geqq3}として立式する. \\[1zh] 指数計算は厳密には数\text{I\hspace{-.1em}I}の学習内容だが,\ 意味合いを理解していれば数\text{I\hspace{-.1em}I}を未学習でも対応できる. \\[.2zh] a^n\,はaをn個掛けたものである. a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\ \cdots\ \times a}_{n個} \\[.2zh] よって,\ 指数計算は結局\bm{aを何個掛けたものになるか}を考えればよい. \\[.2zh] \rei\ \ a^3\times a^2=(aaa)\times(aa)=a^{3+2}=a^5,\ \ a^3\div a^2=(aaa)\div(aa)=a^{3-2}=a^1 \\[.2zh] 本問では,\ 3^2\times3^{n-2}=3^{2+(n-2)}=3^n,\ \ 2^{n-2}\div2=2^{(n-2)-1}=2^{n-3}\ と計算できる. \\[1zh] また,\ 分数をまとめると分子は\ 2^n+n\cdot2^{n-1}+n(n-1)\cdot2^{n-3}\ となる. \\[.2zh] この場合,\ \bm{一番指数部分が小さい2^{n-3}\,をくくり出す}ことができる. \\[.2zh] 2^6+2^5+2^3=2^3(2^3+2^2+1)\ と同様に,\ 2^n+2^{n-1}+2^{n-3}=2^{n-3}(2^3+2^2+1)である. \\[1zh] 自然数nの問題では,\ \bm{nに簡単な数字を代入して検算する癖をつけておく}ことが重要である. \\[.2zh] 3回で終了するのは\text Aが3連勝する場合であるから,\ その確率は\,\left(\bunsuu13\right)^3=\bunsuu{1}{27}\,である. \\[.8zh] n=3を代入してみると確かに\ 1-\bunsuu{26}{27}=\bunsuu{1}{27}\,となる.\ なお,\ a^0=1とする決まりである(数\text{I\hspace{-.1em}I}). \\\\ \bm{n=1,\ 2の場合も考慮する.}\ 当然2回以内で終了する可能性はないから,\ その確率は0である. \\[.2zh] 求めたのはあくまでもn\geqq3の場合の式だが,\ 試しにn=1,\ 2を代入してみると0になる. \\[.2zh] よって,\ n\geqq1の場合の式とすることができる.\ なお,\ a^{-n}=\bunsuu{1}{a^n}\,とする決まりである(数試合回数で場合分けして直接的に求める(数列と微分の知識が必要；超上級者用)}\, \phantom{ (1)}\ \ 初項$x$,\ 公比$x$,\ 項数$n$の等比数列の和は 両辺を$x$で微分}すると {両辺を$x$で微分}すると \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $n=1,\ 2$を代入すると0になるから,\ この式は$\bm{n=1,\ 2のときも成り立つ.}$ \ 計算量が膨大で全く実戦向きではないが,\ 超上級者用の参考として一応大筋を示した. \\[.2zh] 数\text B：数列に加え,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の微分法の知識を要する. \\[1zh] Σを用いて表すと,\ いわゆる\bm{(2次式)\times(等比)の和}に帰着する. \\[.2zh] S-rSを2回計算して数\text Bの範囲で求めることも可能だが,\ ここでは微分法を利用した.
