確率の一般項Pnの最大値

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箱の中に1番からN番までの番号札が1枚ずつ合計N枚入っている.$ $この箱から同時に4枚の番号札を取り出す.\ この4枚の札の中で,\ 最小$ $の番号が3である確率をP_Nとする.\ ただし,\ N6\ とする.$ $ P_N\ を求めよ.$ $ P_N\ を最大にするNとその最大値を求めよ.   [宮城教育大]3以外の3枚の札を,\ 4番からN番のN-3枚の中から取り出せばよい. 最小の番号札3を選ぶことが確定済みなので,\ 残りの3枚を選べばよい. \ 4番からN番まではN-4枚(←4も除かれる)ではないので注意すること. \ P_N={4(N-4)(N-5)}{N(N-1)(N-2)}\ の最大を考える. \ {Nは整数}であることから,\ 結局は{数列の最大を求める問題}に帰着する. \ 数列の最大最小は,\ {隣り合う項P_NとP_{N+1}の大小関係}を考える. \ つまり,\ P_{N+1}\gtreqqless P_{N}\ となるNの範囲を調べると,\ P_Nの最大・最小がわかる. \ {隣り合う項の差\ P_{N+1}-P_Nと0の大小を比較}するのが一法である. が成り立つからである. \ なお,\ P_{N+1}は,\ P_NのNにN+1を代入して得られる. 以上からP_Nの変化がわかり,\ 最大・最小が求まるのである. \ {一般項が和・差}の場合(\ P_N=N²+2N),\ {P_{N+1}-P_Nを考える.} \ しかし,\ 本問のように一般項が積・商の場合,\ これを計算するのが大変になる. \ 実際,\ は大変である. \ {一般項が積・商の形ならば,\ 隣り合う項の比と1の大小を比較する}のがよい. これを元にP_Nの大小関係を書き出すと,\ P_{11},\ P_{12}が最大であるとわかる. \ N6より,\ P_6から書き出せばよい. \ なお,\ 比の方法は,\ 一般項が0や負になりうる数列には安易に適用できない. \ 分母が0になることは許されないし,\ 負の分母をはらうと大小関係が逆になる. \ 確率分野では,\ 常に0 P_N1\ であるから,\ あまり気にしなくてよい. \ ただし,\ =0になりえないかは一応確認しておいた方がよいかもしれない. \ 本問の場合,\ N6\ より,\ 常に\サイコロを50回投げるとき,\ 1の目が何回出る確率が最大となるか.$ 1の目がk回出る確率をp_kとすると  1の目が出る回数を文字でおき,\ その確率({反復試行})を求める. 後は,\ 前問と同様に隣り合う項の比と1の大小関係を考えればよい. 本問の最大のポイントは,\ そもそも比の計算ができるかにある. 分子の(16)^{k+1}と分母の(16)^kを約分すると,\ 分子に16が1個残る. 分子の(56)^{50-k-1}と分母の(56)^{50-k}を約分すると,\ 分母に56が1個残る. 50-k-1より,\ 50-kの方が1大きいからである. さらに厄介なのはC nrの約分である. C nrにおいて{rに文字を含むとき,\ 階乗で表現する}ことになる. C nr={n!}{r!(n-r)!}\ の変形に慣れておく必要がある. kは整数よりk7 {50-k}{5(k+1)}=1,\ つまり\ 2k=15\ となる整数kは存在しない. 結局,\ k8では\ {50-k}{5(k+1)}\ となるから,\ 8回が最大であるとわかる.
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