確率の一般項Pnの最大値・最小値

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箱の中に1番からN番までの番号札が1枚ずつ合計N枚入っている.\ この箱から同$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$時に4枚の番号札を取り出す.\ この4枚の札の中で,\ 最小の番号が3である確率をP_N$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$とする.\ ただし,\ N\geqq6\ とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ P_N$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ P_N$を最大にする$N$とその最大値を求めよ.  確率の一般項$\bm{P_n}$の最大値・最小値}3以外の3枚の札を,\ 4番からN番のN-3枚の中から取り出す確率}である.$ \\[1zh] (1)\ \ 3番(最小となる番号札)を選ぶことが確定済みなので,\ 残りの3枚を選べばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4番からN番まではN-4枚ではないので注意!\ (N-4とすると4番も除かれてしまう) \\[1zh] (2)\ \ もはや数\text B:数列の問題であるが,\ 数列を学習済みである必要はない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般に,\ 数列P_N\,の最大・最小は,\ \bm{隣り合う項P_N\,とP_{N+1}\,の大小関係を考えて求める.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ P_{N+1}\gtreqqless P_{N}\,となる整数Nの範囲を調べると,\ P_N\,の最大・最小が求まる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 2つの方法「\bm{差P_{N+1}-P_N\gtreqqless0\,を考える}」「\bm{比\,\bunsuu{P_{N+1}}{P_N}\gtreqqless1\,を考える}」がある. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ P_{N+1}\gtreqqless P_N\ \Longleftrightarrow\ \bm{P_{N+1}-P_N\gtreqqless0}\ \Longleftrightarrow\ \bm{\bunsuu{P_{N+1}}{P_N}\gtreqqless1}\ (P_N>0)\ を利用するわけである. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ なお,\ P_{N+1}\,は,\ P_N\,のNにN+1を代入して得られる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \text{\scalebox{.98}[1]{$\bunsuu{4(N-4)}{(N+1)N(N-1)(N-2)}>0\ (N\geqq6)より,\,\bm{P_{N+1}-P_N\,の正負は11-Nの正負と等しい.}$}} \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ こうして,\ Nの値によってP_{N}\,とP_{N+1}\,の大小関係がどのように変化するかが求められる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ N\leqq10,\ つまりN=6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10のときP_NP_{N+1}\,の場合も合わせると,\ P_N\,の最大が一目瞭然となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 本問のように\bm{P_N\,が最大をとるNが2つあるような場合,\ 一方を見落とすミスが多い.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{P_N=P_{N+1}\,の場合の考慮を忘れない}ように注意してほしい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 比を考える場合も基本的な流れは同じである(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ \bm{一般項P_N\,が0や負になりうる数列に対しては,\ 安易に比を考えてはならない.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分母が0になることは許されないし,\ 負の分母をはらうと大小関係が逆転する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 確率の数列に限れば,\ 常に\,0\leqq P_N\leqq1\,が確実ではあるが,\ P_N=0には注意が必要である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そこで,\ 常にP_N=\bunsuu{4(N-4)(N-5)}{N(N-1)(N-2)}>0\ (N\geqq6)であることを確認したわけである. \\\\ \phantom{(1)}\ \ \bm{一般項P_N\,が積・商の形の場合,\ 比を考えると約分で式が簡単になる}メリットがある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一方で,\ 以下のように分母をはらって不等式を解く必要があり,\ 分母の正負にも注意を要する. \サイコロを50回投げるとき,\ 1の目が何回出る確率が最大となるか.$ \\   1の目が$k$回出る確率を$P_k$\ $(1\leqq k\leqq50)$とすると  まずは,\ 1の目が出る回数を文字でおき,\ その確率を求める. \\[.2zh] 基本的な\bm{反復試行の確率}である.\ \ 1回の試行で事象Aの起こる確率をpとする. \\[.2zh] 試行をn回繰り返すとき,\ 事象Aがr回起こる確率は \kumiawase nrp^r(1-p)^{n-r} \\[.2zh] 後は,\ 前問と同様,\ 隣り合う項の差または比を考えてP_{k}\,とP_{k+1}\,の大小関係を求めればよい. \\[1zh] 本問の最大のポイントは,\ そもそも差や比の計算ができるかにある. \\[.2zh] 指数計算はともかく,\ \kumiawase nr\,の計算にはかなりの慣れを要する. \\[1zh] \kumiawase nr\,において\bm{rに文字を含むとき,\ 階乗で表して計算せざるを得ない.} \\[.2zh] \bm{差で考える場合,\ \kumiawase{50}{k+1}\,と\,\kumiawase{50}{k}\,を階乗で表し,\ 共通因数をくくり出す}(本解). わかりにくければ,\ 具体的な数値で考えてみる. \\[.2zh] 一般に,\ 指数が小さい方をくくり出せる. 後は,\ 括弧内を通分して整理する.\ \ 1\leqq k\leqq50のとき\bm{分母は正なので,\ 分子のみで正負が決まる.} \\[.2zh] 本問の場合,\ P_{k+1}=P_k\,となるような整数kは存在しない. \\[1zh] \bm{比で考える場合,\ \kumiawase{50}{k+1}\,と\,\kumiawase{50}{k}\,を階乗で表し,\ 約分する}(別解). \\[.5zh]
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