反復試行の確率(基本) nCrpr(1-p)n-r

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サイコロを5回投げるとき,\ 次の確率を求めよ.$  3の倍数の目がちょうど3回出る確率.  3の倍数の目が4回以上出る確率. 同じ条件で同じ試行を繰り返すことを反復試行という.  各回の試行は明らかに独立であるから,\ 各回の確率は単純に掛けてよい.  5回投げて3回3の倍数の目が出るパターンを考える.  3の倍数の目が出る事象を○},\ 3の倍数の目が出ない事象を×}とする.  2つの例を挙げると次のようになる  結局は○3個と×2個であるから,\ 確率の積は常に\  よって,\ 後は○×の並べ方が何通りあるか}を考えればよい. 同じものを含む順列であるから, 1回目のサイコロの目が2回目に影響するはずはないから,\ 各回は独立である. 「3回出る」は,\ {残り2回はそれ以外の目が出なければならない}ことを意味する. よって,\ 単純に(26)³で終えることはできず,\ (46)²を掛ける必要がある. さらに,\ {3の倍数の目が出るのが何回目で起こるか}も考慮する必要がある. これは上で述べたとおり,\ ○×の並べ方と同じ数だけパターンがある. 5箇所から○が入る場所を3箇所選ぶと考えるとC53通りである. 5個を一旦別物として並べ,\ 後で○3個と×2個の重複度で割ると{5!}{3!2!}通り. どちらでもよいが,\ C}で計算するのが普通である. 一般化すると,\ 次の公式が導かれる.\ 1回の試行で事象Aの起こる確率をpとする. この試行をn回繰り返すとき,\ 事象Aがr回起こる確率は {C nrp^r(1-p)^{n-r 公式の丸暗記では応用が利かないので,\ 式の意味を理解しておくこと. 「4回以上出る」は,\ 「4回または5回出る」である. 「4回出る」と「5回出る」は{排反}なので,\ それぞれを求めて足せばよい. 白玉3個,\ 赤玉2個,\ 緑玉1個の合計6個の玉が入った袋から1個取り出 して戻すことを6回繰り返す.\ このとき,\ 白玉が1回,\ 赤玉が2回,\ 緑玉 が3回取り出される確率を求めよ.  1回の試行で白玉,\ 赤玉,\ 緑玉が出る確率はそれぞれ\ 「取り出して戻す」のであるから,\ 各回の試行は{独立}である. よって,\ 反復試行の考え方で求めればよい. 「白玉が出る」を○,\ 「赤玉が出る」を△,\ 「緑玉が出る」を×で表す. このとき,\ ○△△×××\ の並べ方に帰着する. 異なるものが3つ以上ある場合は,\ C}ではなく階乗で計算したほうが楽である.
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