余事象の確率、「少なくとも~」かつ「少なくとも~」の確率

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A,\ B,\ C3人が合格する確率がそれぞれ$12,\ 23,\ 34$であるとき,\ 次の確 率を求めよ.  1人だけが合格する確率.  少なくとも1人が合格する確率. 事象Aに対し,\ Aが起こらない事象をAの{余事象といい,\ {A}で表す.$  $このとき,\ 全事象Uの確率  $この等式により,\ P(A)とP(A})\ の一方が求まればもう一方も求まる.$  ${直接求めにくい確率は,\ もう一方を求めて1から引けばよいのである.$  Aだけが合格}する確率は Bだけが合格}する確率はCだけが合格}する確率は3人とも不合格}になる確率はAだけ,\ Bだけ,\ C}だけが合格する3つの場合がある. \ これらは互いに{排反}であるから,\ それぞれを求めて足せばよい. \ 最後に足すことを見越し,\ 約分はしないでおく. \ A}だけが合格する場合は,\ Aが合格し,\ かつBとCが不合格}になる場合である. \ 3人の合格・不合格は,\ 互いに影響しないから{独立}である. \ よって,\ 「(A}が合格)(B}が不合格)(C}が不合格)」\ で求められる. \ また,\ {不合格になるという事象は,\ 合格するという事象の余事象}である. \ よって,\ 不合格となる確率は,\ 「{1-(合格する確率)}」\ で求められる. \ Bだけ,\ C}だけが合格する場合も同様に考えて求めればよい. \ {「少なくとも~」}とあれば,\ ほとんどが余事象を利用して求めると簡潔に済む. \ {「少なくとも1人が合格」の余事象は,\ 「全員が不合格」}である. \ これを1から引けばよい. m個のサイコロを同時に振る.\ これをn回繰り返すとき,$ 毎回,\ 少なくとも1個のサイコロに1の目が出る確率を求めよ. 少なくとも1回,\ すべてのサイコロに1の目が出る確率を求めよ. %九州大 1回}振るときに1の目が少なくとも1個}出る確率はn回}振るときの確率は  1回目が2回目に影響するはずはないから,\ 各回の試行は明らかに{独立}である. \ よって,\ 1回の試行の確率を求め,\ n回分掛ければよい. \ 「少なくとも~」とあるから,\ 余事象を考える. \ 「1の目が少なくとも1個出る」の余事象は,\ {「1の目が1個も出ない」}である. \ m個のサイコロは,\ 互いに影響しないから{独立}である. \ よって,\ それぞれのサイコロについての確率を掛ければよい. \ ゆえに,\ {m個のサイコロの目がいずれも1でない確率}は  これを1から引けばよい.\ さらにn回掛けて(n乗して)答えとなる. \ {「n回振るとき,\ m個全て1になる回が1回でもあればよい」}が題意である. \ この余事象は,\ 「m個全て1になる回がn回のうち1回もない」である. \ 言い換えると,\ {「n回とも,\ m個のうち少なくとも1個は1でない」}(A)となる. \ 事象(A)の確率を求め,\ 1から引けば求める確率となる. \ と同様,\ 1回の試行の確率を求め,\ n乗して求める. \ つまり,\ {「1回振るとき,\ m個のうち少なくとも1個は1でない」}(B)を求める. \ 余事象は{「1回振るとき,\ m個すべてが1の目」}であり,\ その確率はよって,\ 事象(B)の確率は 1-(16)^m \ ゆえに,\ 事象(A)の確率は  これを1から引いたものが,\ 求める確率である. サイコロを$n$回投げるとき,\ 出た目の積が4で割り切れる確率を求めよ. 出た目の積が4で割り切れない確率}を求める.   \ すべてが奇数}のとき1回だけ2または6が出て,\ 残りの$n-1回$がすべて奇数}のとき 「出た目の積が4で割り切れる」を言い換えると次となる. 「4が少なくとも1回」または「4が1回も出ず,\ 偶数2,\ 6が少なくとも2回出る」 これを直接求めるのは大変なので,\ {余事象「4で割り切れない」}を考える. つまり,\ {「すべて奇数」または「1回だけが2,\ 6で,\ n-1回が奇数」}を求める. この2つの場合は互いに{排反}である. 「1回だけが2,\ 6で,\ n-1回が奇数」は,\ {反復試行}の扱いで求めることになる. {何回目に2,\ 6が出るかを考慮}する必要があるからである. これは○1個と×n-1個の並べ方に等しいから,\ C n1通りある. ,\ }を1から引けば求める確率となる.\ 次のように変形するとより簡潔になる. サイコロを$n$回投げるとき,\ 出た目の積が6で割り切れる確率を求めよ. A:「少なくとも1回2,\ 4,\ 6が出る」B:「少なくとも1回3,\ 6が出る」} 「6で割り切れる」を言い換えると次となる. {「少なくとも1回2の倍数が出る」}(A)\ {かつ}\ 「少なくとも1回3の倍数が出る」}(B) これを直接考えるのは難しいので,\ 余事象を考える. 余事象は,\ {「2の倍数が1回も出ない」}(A})\ {または}\ 「3の倍数が1回も出ない」}(B}) 「2の倍数が1回も出ない」は,\ 「n回とも,\ 1,\ 3,\ 5が出る」である. 「3の倍数が1回も出ない」は,\ 「n回とも,\ 1,\ 2,\ 4,\ 5が出る」である. この2つは{排反ではない}から,\ {足した後で重複した分を引く}必要がある. つまり,\ {「(1,\ 3,\ 5が出る)+(1,\ 2,\ 4,\ 5が出る)-(1,\ 5が出る)」}を求める. これを1から引いたものが求める確率である. 排反でない2つの事象は,\ {ベン図}で考えるとわかりやすい. 求める確率は,\ 図の色塗り部分(A}またはB}を除いた部分)である. 集合の記号を用いて,\ {数式で機械的に処理}していくのが理想である. 求めるのは,\ P(A B)\ (AかつBの確率)\ である. 直接求めるのは難しいので,\ P(A B)の余事象であるP(A B})を1から引く. ド・モルガンの法則よりとなる.
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高校数学A 確率
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