確率の加法定理(排反)

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白玉6個,\ 赤玉5個,\ 青玉4個が入っている袋から4個の玉を同時に取り出す. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ 次の確率を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 白玉が3個以上含まれる確率 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 同じ色の玉を2個ずつ2色含む確率 \\ 確率の加法定理事象$\bm{A,\ B}$が同時には起こらない}}とき,\ つまり$\bm{\textcolor{magenta}{A\cap B=\varnothing}}$のとき, \\[.2zh]   事象$A,\ B$は互いに\textbf{\textcolor{blue}{排反}}であるという. \\[1zh]   \textbf{\textcolor{magenta}{事象$\bm{A,\ B}$が互いに排反}}であるとき,\ \textbf{\textcolor{blue}{確率の加法定理}}が成り立つ. 確率の加法定理が成り立つことはベン図から明らかであろう.\ 場合の数でも同様の公式があった. \\[.2zh] 事象A,\ Bが互いに\bm{排反}であるとき \bm{(AまたはBの確率)=(Aの確率)+(Bの確率)} \\[1zh] 実際の確率の問題では,\ \bm{起こりえるすべての事象を考え,\ 場合分けできるか}が問われる. \\[.2zh] このとき,\ 後から同時に起こりえるかを考えるのは筋が悪い. \\[.2zh] \bm{最初から排反になるように場合分け}しておけば,\ 後は足すだけで済むのであった. \\[1zh] (1)\ \ 「白玉3個」「白玉3個,\ 赤玉1個」「白玉3個,\ 青玉1個」と3つに場合分けしてもよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ \bm{白以外の9個から1個選ぶと考えると,\ 後者2つをまとめて求められる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 最後に通分して足すことを見越すと,\ 安易に約分したり分母の掛け算を行わない方がよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 約分した解答を示したが,\ 実際には直ちに約分したわけではない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu{3\cdot5}{15\cdot7\cdot13},\ \bunsuu{5\cdot4\cdot9}{15\cdot7\cdot13}\,まで求めた後,\ 両方15で約分できることを確認した上で約分している. \\\\ \phantom{(1)}\ \ 「白玉3個,\ 白玉または赤玉または青玉1個」と考え,\ \bunsuu{\kumiawase63\times\kumiawase{12}{1}}{\kumiawase{15}{4}}\,とするのは\bm{誤り}である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ このような誤りは,\ 場合の数で学習した\bm{積の法則}の理解が不十分であることに起因する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{m通りのAのいずれに対してもBがn通りあるとき,\,AかつBはmn通りある}のであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \dot{異}\dot{な}\dot{る}\,6個の白玉から4個選ぶとき,\ \kumiawase64\,と\,\kumiawase63\times\kumiawase31\,では何が違ってくるだろうか. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \kumiawase64=15は,\ (白_1,\ 白_2,\ 白_3,\ 白_4)や(白_1,\ 白_2,\ 白_3,\ 白_5)などの組合せの総数である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 言うまでもなく,\ 例えば(白_1,\ 白_2,\ 白_3,\ 白_4)と(白_1,\ 白_2,\ 白_4,\ 白_3)は1通りの扱いである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \kumiawase63=20は,\ (白_1,\ 白_2,\ 白_3)や(白_1,\ 白_2,\ 白_4)などの組合せの総数である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \kumiawase63\times\kumiawase31\,は,\ 20通りのいずれに対しても残りの白玉1個の選び方が3通りあることを意味する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ (白_1,\ 白_2,\ 白_3)に対しては白_4,\ 白_5,\ 白_6\,の3通りある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (白_1,\ 白_2,\ 白_4)に対しても白_3,\ 白_5,\ 白_6\,の3通りある.\ 他の組合せについても同様である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要は,\,20\times3とすると(白_1,\ 白_2,\ 白_3)+白_4\,と(白_1,\ 白_2,\ 白_4)+白_3\,を別に数えることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{主役と脇役を混在させてしまうと,\ このようなダブルカウントのリスクが高くなる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 赤玉と青玉は両方とも脇役なのでまとめられるが,\ 主役の白玉までまとめて考えるべきではない. \\[1zh] (2)\ \ 確率の加法定理は,\ 3つ以上の事象に対しても同様に成り立つ.
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