基本的な確率漸化式

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当ページは、確率カテゴリ(数A)と数列:漸化式カテゴリ(数B)の両方に属しています。
数列:漸化式の学習が完了していることを前提としているからです。

確率漸化式は、受験では全分野の全パターンの中でも最重要のパターンに位置づけされる。特に難関大学における出題頻度は凄まじく、同じ大学で2年続けて出題されることも珍しくない。ここでは取り上げた問題は基本的なものであるが、実際には漸化式の作成自体が難しいことも多く、過去問などで演習が必要である。

特殊解型漸化式と対称型連立漸化式の詳細については、数列:漸化式の解法パターン で確認してほしい。

p1=3/5とありますが、a1=3/5の誤りですm(_ _)m

箱の中に1から5の数字が1つずつ書かれた5個の玉が入っている. 1個の玉を取り出し,\ 数字を記録してから箱の中に戻すという操作を $n$回繰り返したとき,\ 記録した数字の和が奇数となる確率を求めよ. n回繰り返したとき,\ 数字の和が奇数となる確率をa_n}とする.$  $n+1回繰り返したときに和が奇数となるのは,\ 次の2つの場合である.n回までの和が奇数で,\ n+1回目に偶数の玉を取り出す.}$   $n回までの和が偶数で,\ n+1回目に奇数の玉を取り出す.}1回後   2回後     $n回後    n+1回後 本問を直接考えようとすると,\ 上左図のような樹形図を考えることになる. 1回,\ 2回,\ ,\ と繰り返すにつれ,\ 考慮を要する場合が際限なく増えていく. 直接n番目の確率を求めるのが困難であり,\ この場合{漸化式の作成が有効}である. n回後の確率をa_nとし,\ {確率a_nが既知であるとして,\ a_{n+1}\ を求める式を立てる.} つまり,\ {n+1回後から逆にn回後にさかのぼって考える}のである. すると,\ {着目する事象に収束する場合のみ考えれば済む}ことになる. 上右図のような,\ {状態推移図}を書いて考えるのが普通である. n回後の状態は,\ 「和が偶数」と「和が奇数」の2つに限られる. この2つの状態で,\ {すべての場合が尽くされている.}\ また,\ 互いに{排反}である. よって,\ 各状態を\ a_n,\ b_n\ とおくと,\ {a_n+b_n=1}\ が成立する. ゆえに,\ 文字数を増やさないよう,\ あらかじめ\ b_n=1-a_n\ として立式するとよい. 確率漸化式では,\ 和が1を使うと,\ {(状態数)-1を文字でおけば済む}のである. 漸化式の作成が完了すると,\ 後は単なる数列の漸化式を解く問題である. 二項間漸化式\ {a_{n+1}=pa_n+q}\ 型は,\ {特殊解型漸化式}である. まず,\ α=pα+q\ として特殊解\ α\ を求める. すると,\ a_{n+1}-α=p(a_n-α)\ に変形でき,\ 等比数列型に帰着する. 正三角形ABCの各頂点を移動する点Pがある.\ 点Pは1秒ごとに$12$の の確率でその点に留まり,\ それぞれ$14$の確率で他の2つの頂点のいず れかに移動する.\ 点Pが頂点Aから移動し始めるとき,\ $n$秒後に点Pが 頂点Aにある確率を求めよ.  $n$秒後に頂点A,\ B,\ Cにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$}とする.  $n+1$秒後に頂点Aにあるのは,\ 次の3つの場合である. $n$秒後に頂点Aにあり,\ 次の1秒でその点に留まる.}n$秒後に頂点Bにあり,\ 次の1秒で頂点Aに移動する.} n$秒後に頂点Cにあり,\ 次の1秒で頂点Aに移動する.} 等比数列である. n秒後の状態は,\ 「Aにある」「Bにある」「Cにある」}の3つに限られる. 左図が3つの状態の推移図,\ 右図が\ a_{n+1}\ への推移図である. 推移がわかれば,\ 漸化式は容易に作成できる. ここで,\ 3つの状態は互いに{排反}であるから,\ {和が1}である. この式をうまく利用すると,\ b_n,\ c_nが一気に消え,\ 結局a_nのみの漸化式となる. b_n,\ c_nが一気に消えたのはたまたまではなく,\ 真に重要なのは{対等性}である. 最初A}にあり,\ 等確率でB,\ C}に移動するから,\ {B,\ Cは完全に対等}である. よって,\ {b_n=c_n}\ が成り立つから,\ {実質的に2つの状態}しかない. 2状態から等式1つを用いて1状態消去すると,\ 1状態の漸化式になるわけである. 確率漸化式の問題では,\ {常に対等性を意識し,\ 状態を減らす}ことが重要である. AとBの2人が,\ 1個のサイコロを次の手順により投げ合う. [一橋大]   1回目はAが投げる.   1,\ 2,\ 3の目が出たら,\ 次の回には同じ人が投げる.   4,\ 5の目が出たら,\ 次の回には別の人が投げる.   6の目が出たら,\ 投げた人を勝ちとし,\ それ以降は投げない.  $n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ.  ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ.n$回目にBがサイコロを投げる確率を$b_n$とする. $n回目$にAが投げ,\ 6の目が出る}確率である. { $[l} n回目にAが投げる場合とBが投げる2つの状態があり},\ 互いに{排反}である. しかし,\ n回目までに勝敗が決まっている場合もあるから,\ a_n+b_n=1\ ではない. よって,\ {a_nとb_nの漸化式を2つ作成し,\ それを連立する}必要がある. 本問の漸化式は,\ {対称型の連立漸化式}\係数が対称)である. {和と差で組み直す}ことで,\ 等比数列型に帰着する.\ この型は誘導されないので注意.
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