隣接3項間確率漸化式(ちょうどnになる、連続する・しない)

スポンサーリンク
x軸上を動く点Pがあり,\ 最初原点の位置にある.\ \ 1個のサイコロを繰り返し振り,\ \\[.2zh] \hspace{.5zw}4以下の目が出ると正の向きの1進み,\ 5または6の目が出ると正の向きに2進むとき,\ \\[.2zh] \hspace{.5zw}点Pが$x=n$に止まる確率$p_n$を求めよ.\ ただし,\ $n$は自然数とする. \\ 隣接3項間確率漸化式}}}} \\\\[.5zh]   点Pが$x=n+2$に止まる場合は以下の2つがあり, 互いに排反である. \\[.5zh]    [1]\ \ \textcolor{forestgreen}{直前に$x=n+1$に止まっていて,\ 4以下の目が出る.} \\[.5zh]    [2]\ \ \textcolor{forestgreen}{直前に$x=n$に止まっていて,\ 5または6の目が出る.} \\\\ 点Pが$x=n+2$に止まる場合は以下の2つがあり,\ 互いに排反である. \\[.5zh]    [1]\ \ \textcolor{forestgreen}{最初に4以下の目が出て,\ 点1から$n+1$進んだ点に止まる.} \\[.5zh]    [2]\ \ \textcolor{forestgreen}{最初に5または6の目が出て,\ 点2から$n$進んだ点に止まる.}  \betu\ \ 点Pが$x=n+1$に止まる場合は以下の2つの場合があり,\ 互いに排反である. \\[.5zh]    [1]\ \ \textcolor{forestgreen}{$x=n$に止まり,\ $x=n+1$に止まる.} \\[.5zh]    [2]\ \ \textcolor{forestgreen}{$x=n$に止まらず,\ $x=n+1$に止まる.} \\\\ 本問は,\ 複数の状態を行き来する問題ではない. \\[.2zh] しかし,\ \bm{同じ試行の繰り返しで,\ ある回のx座標は直前のx座標によってのみ決まる.} \\[.2zh] よって,\ 漸化式の作成が有効である. \\[.2zh] ただし,\ 直前のx座標が2通りあるため,\ \bm{3項間の漸化式を作成する}ことになる. \\[.2zh] なお,\ 本問のnは回数ではないことに注意する. \\[.2zh] p_n\,は,\ 何回目かは不明だが,\ x=nに止まる確率である. \\[1zh] \bm{3項間の確率漸化式の作成は,\ 最後の1回か最初の1回で排反に場合分けをする}のが基本である. \\[.2zh] 本解は最後の1回,\ 別解1は最初の1回で場合分けをするものである. \\[.2zh] 本問ではどちらの手法も同じようなものだが,\ 問題によっては大きく違ってくる. \\[1zh] \bm{隣接3項間型漸化式a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0}は,\ やや難易度が高い部類の漸化式である. \\[.2zh] しかし,\ 誘導なしで出題されることが多いので,\ 解法の習得が必須である. \\[1zh] まず,\ a_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1とした特性方程式x^2+px+q=0を解く. \\[.2zh] これの2つの解を特殊解\,\alpha,\ \beta\,とする. \\[.2zh] このとき,\ \bm{2つの等比数列型漸化式\ \begin{cases} a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \\[.2zh] a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n) \end{cases}}\hspace{-1zw}を作成できる. \\\\[-.8zh] それぞれの漸化式を解き,\ 2式からa_{n+1}\,を消去するとa_n\,が求まる. \\[1zh] 特性方程式\ x^2-\bunsuu23x-\bunsuu13=0より (3x+1)(x-1)=0  \therefore\ \ x=-\bunsuu13,\ 1 \\[.8zh] p_2\,は,\ 最初に4以下の目が2回出る場合と最初に5または6の目が1回出る場合がある. \\[1zh] 別解1では,\ \bm{初期位置によらず,\ n進んだ点に止まる確率がp_n\,である}ことを利用している. \\[1zh] 実は,\ \bm{x=nに止まるか否かで場合分けする}と,\ 2項間の確率漸化式を作成できる(別解2). \\[.2zh] x=nに止まらない確率は1-p_n\,であるが,\ このとき\bm{確実にx=n-1とx=n+1に止まる.} (2)\ \ 途中で点Pの$x$座標が$n$にならず,\ $2n$になる確率を求めよ. \\ Aと書かれたカードが2枚,\ Bと書かれたカードが1枚入った袋の中から1枚取り出し \\[.2zh] \hspace{.5zw}て元に戻すことを$n$回繰り返す. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ Aが2回連続して出ない確率$p_n$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $n$回目に初めてAが2回連続して出る確率$q_n$を求めよ. \\  (1)\ \ $n+2$回取り出してAが2回連続しない場合は以下の2つがあり,\ 互いに排反である. \\[1zh] n+1回でAが2回連続しない(p_{n+1}n+2回でAが2回連続しない(p_{n+2})}}}$   [2] n回でAが2回連続しない(p_n)}}n+2回でAが2回連続しない(p_{n+2})}}}$ \\\\\\  \betu\ \ $n+2$回取り出してAが2回連続しない場合は以下の2つがあり,\ 互いに排反である. \textbf{ある回に連続する・しないは直前の文字によってのみ決まる}から,\ 漸化式の作成が有効である. \\[.2zh] もし\text{AもBも連続しない}ということであれば,\ \mathRM{ABAB\cdots\,とBABA\cdots\,}の2つの場合しかない. \\[.2zh] よって,\ 漸化式を作成するまでもない. \\[.2zh] しかし,\ 本問は「\,\text{Aのみ連続しない}」なので,\ その確率の漸化式を作成することになる. \\[.2zh] \bm{最後の1回で場合分けすると,\ その直前が確定しない場合とする場合がある.} \\[.2zh] 結局,\ \bm{3項間の漸化式を作成する}ことになる. \\[1zh] 1回取り出して\text Aが2回連続することはないから,\ 当然p_1=1である. \\[.2zh] 2回取り出して\text Aが2回連続しない確率は,\ \text Aが2回連続する確率の余事象として求めた. \\[1zh] 特性方程式\ x^2-\bunsuu13x-\bunsuu29=0\ より (3x+1)(3x-2)=0  \therefore\ \ x=-\bunsuu13,\ \bunsuu23 \\\\ 最初の1回で場合分けしても同様に漸化式を作成できる(別解). 本問は最後の2回が\text{AA}で確定しており,\ 最後の1回で場合分けすることができない. \\[.2zh] このように,\,\bm{最後が特定の条件を満たすときの確率では最初の1回で場合分けする}ことが有効である.
スポンサーリンク
スポンサーリンク
高校数学A 確率
受験の月をフォローする
受験の月
タイトルとURLをコピーしました