反復試行の確率(先にk回起こる)

A,\ Bの2人が試合をして,\ 先に3勝したほうを優勝とする. 1回の試合でAが勝つ確率が\ $13$\ であるとき,\ 次の確率を求めよ.  3回の試合で優勝が決まる確率.  Aが優勝する確率. Aが3連勝で優勝}する確率は Bが3連勝で優勝}する確率はAが3連勝で優勝}する確率は Aが3勝1敗で優勝}する確率はAが3勝2敗で優勝}する確率は \ 3回の試合で優勝が決まるには,\ どちらかが3連勝するしかない. \ 「Aが優勝する」と「Bが優勝する」}は{排反}でなので,\ 別々に求めて足す. \ 通常の反復試行と異なるのは,\ {試行の総回数が決まっていない}ことである. \ 本問の場合,\ 最低3回,\ 最大5回の試行を行うことになる. \ 総回数が異なるものは{排反}なので,\ 3回,\ 4回,\ 5回の場合を別々に求めて足す. \ 4回で決まるのは,\ 3勝1敗となる場合である. \ ここで,\ 単純に\ とするのは{よくある誤り}である. \ なぜなら,\ C43には\ AAAB}\ (3回で終了)\ も含まれてしまうからである. \ ちょうど4回で決まるには,\ 最後の1回(4回目)が必ずA}でなければならない. \ よって,\ {最後の1回(4回目)を分けて考える}必要がある. \ つまり,\ {最初の3回が2勝1敗で,\ 4回目に勝つ確率を求める}のである. \ 具体的には,\ (AAB)A,\ (ABA)A,\ (BAA)A}\ である. \ 最初の3回が2勝1敗となる確率は,\ 普通の反復試行これに4回目に勝利する確率13を掛ければよい. \ ちょうど5回で決まる場合も同様に考える. \ (ABBA)A,\ (BABA)A} \ つまり,\ {最初の4回が2勝2敗で,\ 5回目に勝つ確率を求める.}
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