反復試行の確率(先にk回勝つ、先にk回連続して勝つ)

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A,\ Bの2人が試合をして,\ 先に3勝したほうを優勝とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}1回の試合でAが勝つ確率が$\bunsuu13$であるとき,\ 次の確率を求めよ. \\\\ \hspace{.5zw} (1)\ \ 3回の試合で優勝が決まる確率 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ Aが優勝する確率 \\ 反復試行の確率(先に$\bm{k}$回勝つ)}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ \textcolor{red}{Aが3連勝で優勝}する確率は{Bが3連勝で優勝}する確率はAが3連勝で優勝}する確率は Aが3勝1敗で優勝}する確率はAが3勝2敗で優勝}する確率は (1)\ \ 3回の試合で優勝が決まるには,\ どちらかが3連勝するしかない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{「\,Aが優勝する」と「\,Bが優勝する」}は\bm{互いに排反}でなので,\ 別々に求めて足す. \\[1zh] (2)\ \ 通常の反復試行と異なるのは,\ \bm{試行の総回数が決まっていない}ことである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の場合,\ \bm{最低3回,\ 最大5回}試行することになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 総回数が異なる場合は\bm{互いに排反}なので,\ 3回,\ 4回,\ 5回の場合の確率を別々に求めて足す. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 4回で決まるのは,\ \text Aが3勝1敗となる場合である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \kumiawase43\left(\bunsuu13\right)^3\hspace{-.3zw}\left(\bunsuu23\right)とするのは\bm{よくある誤り}である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ \kumiawase43\,は\text A\,3個と\text B\,1個の並べ方の総数なので,\ \text{AAAB}\ (3回で終了)\ も含まれてしまうのである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ちょうど4回で\text Aが優勝するためには,\ 最後の1回(4回目)が必ず\text{A}でなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \bm{最後の1回(4回目)を分けて考える}必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{最初の3回は\textbf Aが2勝1敗で,\ かつ4回目に\textbf Aが勝つ確率を求める}ことになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 具体的には,\ \textbf{AAB\textbar A,\ \ ABA\textbar A,\ \ BAA\textbar A}\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 最初の3回で\text Aが2勝1敗となる確率は,\ 普通の反復試行\ \kumiawase32\left(\bunsuu13\right)^2\left(\bunsuu23\right)である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これに4回目に\text Aが勝つ確率\,\bunsuu13\,を掛ければよい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ ちょうど5回で優勝が決まる場合も同様である.  \rei\ \ \text{ABBA\textbar A,\ \ BABA\textbar A} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{最初の4回は\textbf Aが2勝2敗で,\ かつ5回目に\textbf Aが勝つ確率を求める.} A,\ Bの2人が試合をして,\ 先に3連勝したほうを優勝とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}1回の試合でAが勝つ確率が\ $\bunsuu13$\ であるとき,\ 次の確率を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 4回の試合で優勝が決まる確率 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 7回の試合でAが優勝する確率 \\ 反復試行の確率(先に$\bm{k}$回連続して勝つ)}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ \textcolor{red}{1回目にBが勝ち,\ 2回目からAが3連勝}する確率は  回目にAが勝ち,\ 2回目からBが3連勝}する確率は    (2)\ \ [1]\ \ Aが最初の3回で3勝すると,\ 3回目でAの優勝が決まってしまう. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [2]\ \ \textcolor{red}{Aが最初の3回で2勝1敗}となる確率はが1回目で1敗し,\ 2\,~\,3回目で1勝1敗}となる確率は \phantom{ (1)}\ \ [4]\ \ Aが最初の3回で3敗すると,\ 3回目でBの優勝が決まってしまう. \\\\ \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{red}{4回目はBが勝ち,\ 5回目からAが3連勝}すればよいから \\[1zh] 勝利条件が連勝になるとパターンが複雑になり,\ 単純な計算のみで求めることは難しくなる. \\[.2zh] 書き出しながら慎重に思考し,\ 条件を満たパターンをすべてあぶり出すことになる. \\[1zh] (1)\ \ 各回で勝つ人を左から順に並べると,\ 1回目\textbf{BAAA}または\textbf{ABBB}の2パターンしかない. \\[1zh] (2)\ \ \text Aでも\text Bでもよいことを*で表すとすると,\ 基本的には\ \textbf{***BAAA}となればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ \bm{7回目以前に優勝が決まってしまう場合を除外する}必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ \text{AAABAAAとBBBBAAA}となると3回目で優勝が決まってしまう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 最初の3回は\text Aの2勝1敗または1勝2敗でなければならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2勝1敗となるとき,\ \text{AABBAAA,\ ABABAAA,\ BAABAAA}のいずれも問題の条件を満たす. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 1勝2敗となるとき,\ \text{BBABAAA,\ BABBAAAは条件を満たすが,\ ABBBAAA}は満たさない.
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