ギャンブラーの破産問題(破産の確率)

表の出る確率が$p$のコインがあり,\ 1回投げて表が出ると1万円もらえ,\ 裏が出ると1万} 円失うという賭けがある.\ 最初の所持金$n$万円で賭けを始め,\ 破産するか所持金が$N$万 円になるまで続けるとき,\ 破産する確率$P_n$を求めよ.\ ただし,\ $1≦ n≦ N-1$とする. ギャンブラーの破産問題 \\ 　本問は,\ 「破産の確率」とも呼ばれる有名問題である. 　非常に興味深いテーマで,\ 実生活でも役立つ可能性がある結論が得られる. 　ただし,\ 解法が独特であり,\ 経験がないと難問になるので大学入試での出題は少ない. 　　$n$万円から始めて破産する場合は以下の2つがあり, 互いに排反である. 　　　　[1]\ \ 1回目に$n+1$万円になり,\ その後0円になる.} 　　　　[2]\ \ 1回目に$n-1$万円になり,\ その後0円になる.} \\ 初項$P_1-α P_0}=P_1-α$,\ 公比1の等比数列である. 答えの意味合いについての考察は後回しにして,\ とりあえず本問における解答の流れを確認する. まず,\ nはあくまでも「最初の所持金」という状態であり,\ 回数ではない}ことに注意してほしい. 破産の確率では,\ 終了までの回数を考慮する必要はない. 本問の最大のポイントは,\ 最初の1回で場合分けして隣接3項間漸化式を作成する}ことにある. ただし,\ P_{n+2}\,をP_{n+1}\,とP_n\,で表す頻出パターンとは異なり,\ P_n\,をP_{n+1}\,とP_{n-1}\,で表す}. さらに,\ P_1,\ P_2\,が初期条件になる頻出パターンとは異なり,\ P_0\,とP_N\,が初期条件}となる. 最初が0万円ならばすでに破産しているから,\ その破産確率はP_0=1である. 最初がN万円ならば賭けは行われず破産することはないから,\ P_N=0である. 本問は,\ x=0またはx=Nに到達した時点で終了するランダムウォーク}とみることもできる. a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0は,\ まずa_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1とした特性方程式を解く. 本問の漸化式は1項分ずれているので,\ P_{n+1}=x^2,\ P_n=x,\ P_{n-1}=1とすればよい. 特性方程式の異なる2つの解を特殊解\,α,\ β\,とする. このとき,\ 2つの等比数列型漸化式 a_{n+2}-α a_{n+1}=β(a_{n+1}-α a_n) a_{n+2}-β a_{n+1}=α(a_{n+1}-β a_n) }-1zw}を作成できるのであった. 本問では\,1=1-p}{p},\ つまりp=12\,のとき重解となるから,\ この場合を分けて考える}必要がある. 重解(α=β)ならば,\ a_{n+2}-α a_{n+1}=α(a_{n+1}-α a_n)\,と立式できる. P_{n+1}-P_n=P_n-P_{n-1}\,より,\ これを繰り返し適用するとP_n-P_{n-1}=P_1-1が導かれる. P_1\,は簡単には求まらないが定数なので,\ これは等差数列型漸化式a_{n+1}-a_n=d}である. これの一般項は,\ 初項a_1,\ 公差dのときa_n=a_1+(n-1)dである. ただし,\ 本問では初項がP_0\,なので,\ P_n=P_0+nd}となる. 後は,\ P_N=0からP_1\,を求め,\ これをP_n\,の式に代入して答えとなる. 1≠1-p}{p},\ つまりp≠12\,のとき,\ 2つの等比数列型漸化式を作成する.} 記述がかなり面倒になるので,\ 1-p}{p}\,を\,α\,とおいた. 2つの等比数列型漸化式を解いた後,\ まずP_N=0からP_1\,が求まり,\ 続いてP_n\,が求まる. 2人が一方が破産するまで対戦を繰り返す問題ともみなせる. 　B：最初の所持金$m$万円,\ \ Aに勝つ確率$q$} \end{tabular}　\ ただし,\ $n+m=N},\ \ p+q=1$ 　一方の破産は他方の所持金が$n+m=N$万円になることを意味するから,\ 同じ問題である. 　まず,\ 2人の実力が互角のとき,\ 破産確率に最初の所持金がどう影響するかを考えよう. 　$p=12$のとき　Aの破産確率は　$P_{n}=1- nN=1-n}{n+m}=m}{m+n}$ 　$p=12$のとき}　Bの破産確率は　$1-P_n=1-m}{m+n}=n}{m+n}$ 　よって,\ Aの破産確率とBの破産確率の比}は　$P_n:(1-P_n)}=m}{n+m}:n}{n+m}=m:n}$ 　つまり,\ 2人の実力が互角ならば,\ 相手を破産させる確率の比は最初の所持金の比に等しい. 　では,\ 2人に実力差がある場合の破産確率についても考えよう.\ 簡単のため,\ $n=m$とする. 　$p=13,\ q=23$とすると　$α=1-p}{p}= qp=2$　(Bの勝利確率がAの2倍) 　このとき,\ Aの破産確率は　$P_n=α^n-α^N}{1-α^N}=2^n-2^{n+n{1-2^{n+n=2^n(1-2^n)}{(1+2^n)(1-2^n)}=2^n}{1+2^n}$ 　また,\ Bの破産確率は\ \ \,$1-P_n=1-2^n}{1+2^n}=1}{1+2^n}$ 　よって,\ Aの破産確率とBの破産確率の比}は　$P_n:(1-P_n)}=2^n}{1+2^n}:1}{1+2^n}=2^n:1}$ 　2人の実力が互角のとき,\ Bの所持金がAの2倍ならば,\ Aの破産確率はBの2倍}になる.} 　一方,\ 所持金が同じでBの勝利確率がAの2倍ならば,\ Aの破産確率はBの$2^n}$倍}になる.} 　つまり,\ $n}$が十分に大きいならば,\ 最初の所持金よりも勝利確率の方が圧倒的に重要になる. 　$n$が十分に大きいとき,\ 勝利確率が低い方の破産はほぼ確定未来というわけである. 　具体的な数値で考えてみるとわかりやすいだろう. 　まず,\ 2人の最初の所持金が$n=m=10$万円であったとしよう. 　このとき,\ 2人の実力が互角ならば,\ 当然Aの破産確率は$12=50\%}$である. 　しかし,\ $p=13$ならば,\ Aの破産確率は　$P_{10}=2^{10{1+2^{10=1024}{1025}=0.999･･･≒99.9\%}$ 　Aの勝利確率が$p=49}{100}$の場合も求めてみる.\ このとき,\ $α= qp=51}{49}$である. 　Aの破産確率は　$P_{10}=α^{10{1+α^{10=0.5987･･･≒59.9\%}$ 　この$p$に対して$n=m=100$とすると　$P_{100}=α^{100{1+α^{100=0.982･･･≒98.2\%}$