ギャンブラーの破産問題(破産の確率)

スポンサーリンク

なお、実際に金銭や資産(土地・車など)を賭けて賭け事をすると賭博罪の構成要件を満たしてしまうので注意!

タイ━━━━||Φ|(|´|Д|`|)|Φ||━━━━ホ!!

表の出る確率が$p$のコインがあり,\ 1回投げて表が出ると1万円もらえ,\ 裏が出ると1万} \\[.2zh] \hspace{.5zw}円失うという賭けがある.\ 最初の所持金$n$万円で賭けを始め,\ 破産するか所持金が$N$万 \\[.2zh] \hspace{.5zw}円になるまで続けるとき,\ 破産する確率$P_n$を求めよ.\ ただし,\ $1\leqq n\leqq N-1$とする. ギャンブラーの破産問題}}}} \\\\[.5zh]  本問は,\ \textbf{\textcolor{blue}{「破産の確率」}}とも呼ばれる有名問題である. \\[.2zh]  非常に興味深いテーマで,\ 実生活でも役立つ可能性がある結論が得られる. \\[.2zh]  ただし,\ 解法が独特であり,\ 経験がないと難問になるので大学入試での出題は少ない. \\\\\\   $n$万円から始めて破産する場合は以下の2つがあり, 互いに排反である. \\[.5zh]     [1]\ \ \textcolor{forestgreen}{1回目に$n+1$万円になり,\ その後0円になる.} \\[.5zh]     [2]\ \ \textcolor{forestgreen}{1回目に$n-1$万円になり,\ その後0円になる.} \\\\[.5zh] 初項$P_1-\alpha \textcolor{red}{P_0}=P_1-\alpha$,\ 公比1の等比数列である. \\[.5zh] 答えの意味合いについての考察は後回しにして,\ とりあえず本問における解答の流れを確認する. \\[1zh] まず,\ \bm{nはあくまでも「最初の所持金」という状態であり,\ 回数ではない}ことに注意してほしい. \\[.2zh] 破産の確率では,\ 終了までの回数を考慮する必要はない. \\[1zh] 本問の最大のポイントは,\ \bm{最初の1回で場合分けして隣接3項間漸化式を作成する}ことにある. \\[.2zh] ただし,\ P_{n+2}\,をP_{n+1}\,とP_n\,で表す頻出パターンとは異なり,\ \bm{P_n\,をP_{n+1}\,とP_{n-1}\,で表す}. \\[.2zh] さらに,\ P_1,\ P_2\,が初期条件になる頻出パターンとは異なり,\ \bm{P_0\,とP_N\,が初期条件}となる. \\[.2zh] 最初が0万円ならばすでに破産しているから,\ その破産確率はP_0=1である. \\[.2zh] 最初がN万円ならば賭けは行われず破産することはないから,\ P_N=0である. \\[.2zh] 本問は,\ \bm{x=0またはx=Nに到達した時点で終了するランダムウォーク}とみることもできる. \\[1zh] a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0は,\ まずa_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1とした特性方程式を解く. \\[.2zh] 本問の漸化式は1項分ずれているので,\ P_{n+1}=x^2,\ P_n=x,\ P_{n-1}=1とすればよい. 特性方程式の異なる2つの解を特殊解\,\alpha,\ \beta\,とする. \\[.2zh] このとき,\ \bm{2つの等比数列型漸化式\begin{cases} a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n) \\[.2zh] a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n) \end{cases}}\hspace{-1zw}を作成できるのであった. \\\\ 本問では\,\bm{1=\bunsuu{1-p}{p},\ つまりp=\bunsuu12\,のとき重解となるから,\ この場合を分けて考える}必要がある. \\[.8zh] 重解(\alpha=\beta)ならば,\ a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\alpha a_n)\,と立式できる. \\[.2zh] P_{n+1}-P_n=P_n-P_{n-1}\,より,\ これを繰り返し適用するとP_n-P_{n-1}=P_1-1が導かれる. \\[.2zh] P_1\,は簡単には求まらないが定数なので,\ これは\bm{等差数列型漸化式a_{n+1}-a_n=d}である. \\[.2zh] これの一般項は,\ 初項a_1,\ 公差dのときa_n=a_1+(n-1)dである. \\[.2zh] ただし,\ 本問では初項がP_0\,なので,\ \bm{P_n=P_0+nd}となる. \\[.2zh] 後は,\ P_N=0からP_1\,を求め,\ これをP_n\,の式に代入して答えとなる. \\[1zh] \bm{1\neqq\bunsuu{1-p}{p},\ つまりp\neqq\bunsuu12\,のとき,\ 2つの等比数列型漸化式を作成する.} \\[.8zh] 記述がかなり面倒になるので,\ \bunsuu{1-p}{p}\,を\,\alpha\,とおいた. \\[.8zh] 2つの等比数列型漸化式を解いた後,\ まずP_N=0からP_1\,が求まり,\ 続いてP_n\,が求まる. 2人が一方が破産するまで対戦を繰り返す問題}}ともみなせる. \\[.5zh]  B:最初の所持金$\bm{\textcolor{red}{m}}$万円,\ \ Aに勝つ確率$\bm{\textcolor{cyan}{q}}$} \end{tabular} \ ただし,\ $\bm{\textcolor{red}{n+m=N},\ \ \textcolor{cyan}{p+q=1}}$ \\[.5zh]  一方の破産は他方の所持金が$n+m=N$万円になることを意味するから,\ 同じ問題である. \\\\  まず,\ \textbf{\textcolor{purple}{2人の実力が互角のとき,\ 破産確率に最初の所持金がどう影響するか}}を考えよう. \\[.5zh]  $p=\bunsuu12$のとき Aの破産確率は $P_{n}=1-\bunsuu nN=1-\bunsuu{n}{n+m}=\bunsuu{m}{m+n}$ \\[.5zh] \phantom{ $p=\bunsuu12$のとき} Bの破産確率は $1-P_n=1-\bunsuu{m}{m+n}=\bunsuu{n}{m+n}$ \\[.5zh]  よって,\ \textcolor{red}{Aの破産確率とBの破産確率の比}は $\textcolor{red}{P_n:(1-P_n)}=\bunsuu{m}{n+m}:\bunsuu{n}{n+m}=\textcolor{red}{m:n}$ \\[.5zh]  つまり,\ \textbf{\textcolor{red}{2人の実力が互角ならば,\ 相手を破産させる確率の比は最初の所持金の比に等しい.}} \\\\  では,\ \textbf{\textcolor{purple}{2人に実力差がある場合の破産確率}}についても考えよう.\ 簡単のため,\ $n=m$とする. \\[.2zh]  $p=\bunsuu13,\ q=\bunsuu23$とすると $\alpha=\bunsuu{1-p}{p}=\bunsuu qp=2$ (Bの勝利確率がAの2倍) \\[.5zh]  このとき,\ Aの破産確率は $P_n=\bunsuu{\alpha^n-\alpha^N}{1-\alpha^N}=\bunsuu{2^n-2^{n+n}}{1-2^{n+n}}=\bunsuu{2^n(1-2^n)}{(1+2^n)(1-2^n)}=\bunsuu{2^n}{1+2^n}$ \\[.5zh]  また,\ Bの破産確率は\ \ \,$1-P_n=1-\bunsuu{2^n}{1+2^n}=\bunsuu{1}{1+2^n}$ \\[.5zh]  よって,\ \textcolor{red}{Aの破産確率とBの破産確率の比}は $\textcolor{red}{P_n:(1-P_n)}=\bunsuu{2^n}{1+2^n}:\bunsuu{1}{1+2^n}=\textcolor{red}{2^n:1}$ \\\\  \textbf{2人の実力が互角のとき,\ Bの所持金がAの2倍ならば,\ \textcolor{red}{Aの破産確率はBの2倍}になる.} \\[.2zh]  一方,\ \textbf{所持金が同じでBの勝利確率がAの2倍ならば,\ \textcolor{red}{Aの破産確率はBの$\bm{2^n}$倍}になる.} \\[.5zh]  つまり,\ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{n}$が十分に大きいならば,\ 最初の所持金よりも勝利確率の方が圧倒的に重要}}になる. \\[.2zh]  $n$が十分に大きいとき,\ 勝利確率が低い方の破産はほぼ確定未来というわけである. \\[1zh]  具体的な数値で考えてみるとわかりやすいだろう. \\[1zh]  まず,\ 2人の最初の所持金が$n=m=10$万円であったとしよう. \\[.2zh]  このとき,\ 2人の実力が互角ならば,\ 当然Aの破産確率は$\bunsuu12=\bm{50\%}$である. \\[.5zh]  しかし,\ $p=\bunsuu13$ならば,\ Aの破産確率は $P_{10}=\bunsuu{2^{10}}{1+2^{10}}=\bunsuu{1024}{1025}=0.999\cdots\kinzi\bm{99.9\%}$ \\\\  Aの勝利確率が$p=\bunsuu{49}{100}$の場合も求めてみる.\ このとき,\ $\alpha=\bunsuu qp=\bunsuu{51}{49}$である. \\[.2zh]  Aの破産確率は $P_{10}=\bunsuu{\alpha^{10}}{1+\alpha^{10}}=0.5987\cdots\kinzi\bm{59.9\%}$ \\[.5zh]  この$p$に対して$n=m=100$とすると $P_{100}=\bunsuu{\alpha^{100}}{1+\alpha^{100}}=0.982\cdots\kinzi\bm{98.2\%}$
スポンサーリンク
スポンサーリンク
高校数学A 確率
受験の月をフォローする
受験の月
タイトルとURLをコピーしました