期待値E(X)の基本

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1個のサイコロを繰り返し振り,\ 出た目の和が4以上になった時点で終了するとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}振る回数$X$の期待値$E(X)$を求めよ. \\ {期待値の基本}}}} \\\\[.5zh]  変数$X$は,\ $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$のうちどれか1つの値をとる. \\[.2zh]  また,\ その値をとる確率がそれぞれ$p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n$である. (\,$\textcolor{cyan}{p_1+p_2+\cdots+p_n=1}$\,) \\[.2zh]  このとき,\ $\bm{\textcolor{red}{E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n}}$\ を変数$Xの\bm{\textcolor{blue}{期待値}}$という. \\\\\\  \textcolor{cyan}{1回}振って終了する確率 $\bunsuu36=\textcolor{red}{\bunsuu12}$ \\[1zh]  \textcolor{cyan}{2回}振って終了する確率 $\bunsuu{4+5+6}{6^2}=\textcolor{red}{\bunsuu{15}{36}}$ \\[1zh]  \textcolor{cyan}{3回}振って終了する確率 $\bunsuu{5+6+6}{6^3}=\textcolor{red}{\bunsuu{17}{216}}$ \\[1zh]  \textcolor{cyan}{4回}振って終了する確率 $\bunsuu{6}{6^4}=\textcolor{red}{\bunsuu{1}{216}}$ \\[-9zh] まず,\ \bm{変数Xの取りうる値を考える.}\ 本問の場合,\ 1\,~\,4の4通りがありえる. \\[.2zh] 次に,\ \bm{Xの値に対応する確率P(X)を求める.} \\[.2zh] \bm{最後の1回を振る前の時点で出た目の和が3以下で,\ かつ最後の1回で4以上}となればよい. \\[1zh]  1回振って終了 (1回目)=4,\ 5,\ 6 \\[.2zh]  2回振って終了 (1回目,\ 2回目)=(1,\ 3\,~\,6),\ (2,\ 2\,~\,6),\ (3,\ 1\,~\,6) \\[.2zh]  3回振って終了 (1回目,\ 2回目,\ 3回目)=(1,\ 1,\ 2\,~\,6),\ (1,\ 2,\ 1\,~\,6),\ (2,\ 1,\ 1\,~\,6) \\[.2zh]  4回振って終了 (1回目,\ 2回目,\ 3回目,\ 4回目)=(1,\ 1,\ 1,\ 1\,~\,6) \\[1zh] 必ずしも必要ではないが,\ 右のような\bm{確率分布表}を書くとわかりやすい. \\[.2zh] また,\ 後で足すので\bm{約分はしない}ほうがよい. \\[.2zh] 本問の場合,\ P(1),\ P(4)は求めやすいが,\ P(2),\ P(3)を求めるのはやや面倒である. \\[.2zh] 先にP(1),\ P(2),\ P(4)を求め,\ P(3)=1-\{P(1)+P(2)+P(4)\}と求めてもよい(余事象の利用). \\[.2zh] しかし,\ P(1),\ P(2),\ P(4)の中に1つでも間違いがあると,\ P(3)も間違えてしまうことになる. \\[.2zh] \bm{すべての確率を直接的に求め,\ 最後に和が1になることを確かめる}のが安全である. \\[.2zh] 余事象の利用は,\ 直接的に求めるのが困難な場合や時間がない場合に限ったほうがよい. \\[1zh] 確率P(X)さえ求めることができれば,\ 期待値E(X)は単に和を計算するだけで求まる. \\[.2zh] 本問の場合,\ \bunsuu{1\times108+2\times90+3\times17+4\times1}{216}\,を計算することになる. \\[.8zh] これは,\ 1が108個,\ 2が90個,\ 3が17個,\ 4が1個(計216個)の数値の平均値を求める式である. \\[.2zh] 期待値(\text{Expected\ Value})は,\ \bm{確率の重みを付けた平均値}というわけである. 1辺の長さ1の正六角形ABCDEFの6個の頂点から異なる3点を同時に選ぶ. \\[.2zh]その3点を頂点とする三角形の面積の期待値を求めよ. \\   [1]\ \ 正六角形と2辺を共有するとき,\ \textcolor{forestgreen}{二等辺三角形}となる. \\[1zh] \bm{正六角形と何本の辺を共有するかに着目}して考えると,\ 三角形の形は3パターンしかない. \\[1zh] [1]\ \ 点\text{A\,~\,F}のどれが頂角になるかで二等辺三角形は6個ある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 2辺の長さa,\ b,\ その間の角が\,\theta\,のとき 面積\ S=\bunsuu12ab\sin\theta \\[1zh] [2]\ \ 共有する1辺を\text{AB}に固定すると,\ もう1つの頂点は\text{D,\ E}の2通りがある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 共有する1辺は6通りあるから,\ 直角三角形は2\cdot6=12個ある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 30\Deg,\ 60\Deg,\ 90\Deg\,の直角三角形であるから,\ 辺の比は1:\ruizyoukon3:2である. \\[1zh] [3]\ \ 正三角形は\text{ACEとBDF}の2個である.
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