両面色付きカードの確率

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両面が赤のカードが2枚,\ 片面が赤でもう片面が青のカードが3枚,\ 両面が青のカード が1枚入った箱の中から,\ 1枚のカードを無作為に取り出して机の上に置く. さらに, もう1枚のカードを無作為に取り出して1枚目のカードの横に置く.\ 見えている面を 表とするとき,\ 以下の確率を求めよ.  (1)\ \ 1枚目のカードの表が赤である確率  (2)\ \ 2枚目のカードの表が赤である確率  (3)\ \ 1枚目のカードの表が赤であったとき,\ そのカードの裏も赤である確率  (4)\ \ 1枚目のカードの表が赤で,\ かつ2枚目のカードの表が青であったとき, 1枚目のカードの裏が赤である確率 \\ 両面色付きカードの確率 \\  (1)\ \ 両面赤のカードを取り出す場合}と片面赤のカードを取り出す場合}がある. ∴ 2つの場合は互いに排反であるからすべての面を区別すると1枚目のカードの表は12通りあり,\ これらは同様に確からしい.} 普通に考えると本解となる. 片面が赤のカードを取り出す確率が\,36,\ 表が赤になる確率がその\,12\,である. 実は,\ どのカードを取り出すかではなく,\ どの面が表に出るかを全事象にとる}と簡潔に済む. 以下のように,\ 同じ色の面もすべて区別すると12通りの面があり,\ 完全に対等}である.  (赤1,\ 赤2),\ (赤3,\ 赤4),\ (赤5,\ 青1),\ (赤6,\ 青2),\ (赤7,\ 青3),\ (青4,\ 青5) 赤1よりも赤2のほうが表になりやすいなどということはないだろう. 結局,\ 1枚取り出して表だけ見るというのは,\ 赤玉7個,\ 青玉5個から1個選ぶのと変わらない.  (2)\ \ 1枚目と2枚目に取り出すカードは以下の6つの場合があり,\ 互いに排反である.     $(1枚目,\ 2枚目)=(両面赤,\ 両面赤),\ (両面赤,\ 片面赤),\ (片面赤,\ 両面赤),$     $(1枚目,\ 2枚目)=}\ (片面赤,\ 片面赤),\ (両面青,\ 両面赤),\ (両面青,\ 片面赤)$ すべての面を区別すると2枚目のカードの表は12通りあり,\ これらは同様に確からしい.} 1枚目と2枚目にどのカードを取り出すかで場合分けすると,\ 大変面倒なことになる(本解). すべての面を区別し,\ 2枚目の表にのみ着目して全事象をとる}と瞬殺である(別解). まだ1枚も取り出していない時点で,\ 2枚目のカードの表が赤である確率}が題意である. よって,\ この時点では12通りの面すべてが等確率で2枚目の表になりうる.  (3)\ \ $A:$「\,1枚目のカードの表が赤である」  $B:$「\,1枚目のカードの裏が赤である」 1枚目のカードの表が赤とわかった時点で,\ そのカードの裏が赤である条件付き確率}が題意である. 事象Aが起こったときに事象Bが起こる条件付き確率は P_A(B)=P(A∩ B)}{P(A)}  (4)\ \ $A:$「\,1枚目のカードの表が赤で,\ かつ2枚目のカードの表が青である」 $B:$「\,1枚目のカードの裏が赤である」 事象$A$が起こるのは,\ 以下の2つの場合であり,\ 互いに排反である.    [1]\ \ 1枚目が両面赤のカードで,\ かつ2枚目のカードの表が青である}    [2]\ \ 1枚目が片面赤のカードで,\ かつ表が赤で,\ かつ2枚目のカードの表が青である} $A∩ B:$「\,1枚目が両面赤のカードで,\ かつ2枚目のカードの表が青である」 P(A)を求めるとき,\ 以下のように考えるのは誤り}である. 1枚目のカードの表が赤である確率は,\ (1)より\,7}{12}\,である. 残り11通りの面のうち青の面は5面あるから,\ 2枚目のカードの表が青になる確率は  誤りの理由は,\ 表の色と裏の色が連動していることを考慮していない}ことにある. 1枚目の表の色がわかった時点で,\ 残りの11面は対等ではなくなる.} 実際,\ 以下の12通りの面のうち,\ 1枚目の裏が赤5,\ 赤6,\ 赤7,\ 青4,\ 青5である可能性はない.  (赤1,\ 赤2),\ (赤3,\ 赤4),\ (赤5,\ 青1),\ (赤6,\ 青2),\ (赤7,\ 青3),\ (青4,\ 青5) この点,\ 2面を扱う本問は1面だけ扱う(1)や(2)とは話が異なるので注意が必要である. 結局,\ 面のみに着目して求めることは難しいので,\ 1枚目のカードが何かで場合分けすることになる. そして,\ 1枚目のカードが何かさえ決まれば,\ 残りの10面は完全に対等}になる. うまい考え方に確信がもてないならば,\ 以下のように排反な場合分けをして求めるのが無難である. (1枚目,\ 2枚目)=(両面赤,\ 片面青),\ (両面赤,\ 両面青),\ (片面赤,\ 片面青),\ (片面赤,\ 両面青)
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