両面が赤のカードが2枚,\ 片面が赤でもう片面が青のカードが3枚,\ 両面が青のカード
が1枚入った箱の中から,\ 1枚のカードを無作為に取り出して机の上に置く. さらに,
もう1枚のカードを無作為に取り出して1枚目のカードの横に置く.\ 見えている面を
表とするとき,\ 以下の確率を求めよ.
(1)\ \ 1枚目のカードの表が赤である確率
(2)\ \ 2枚目のカードの表が赤である確率
(3)\ \ 1枚目のカードの表が赤であったとき,\ そのカードの裏も赤である確率
(4)\ \ 1枚目のカードの表が赤で,\ かつ2枚目のカードの表が青であったとき,
1枚目のカードの裏が赤である確率 \\
両面色付きカードの確率 \\
(1)\ \ 両面赤のカードを取り出す場合}と片面赤のカードを取り出す場合}がある.
∴ 2つの場合は互いに排反であるからすべての面を区別すると1枚目のカードの表は12通りあり,\ これらは同様に確からしい.}
普通に考えると本解となる.
片面が赤のカードを取り出す確率が\,36,\ 表が赤になる確率がその\,12\,である.
実は,\ どのカードを取り出すかではなく,\ どの面が表に出るかを全事象にとる}と簡潔に済む.
以下のように,\ 同じ色の面もすべて区別すると12通りの面があり,\ 完全に対等}である.
(赤1,\ 赤2),\ (赤3,\ 赤4),\ (赤5,\ 青1),\ (赤6,\ 青2),\ (赤7,\ 青3),\ (青4,\ 青5)
赤1よりも赤2のほうが表になりやすいなどということはないだろう.
結局,\ 1枚取り出して表だけ見るというのは,\ 赤玉7個,\ 青玉5個から1個選ぶのと変わらない.
(2)\ \ 1枚目と2枚目に取り出すカードは以下の6つの場合があり,\ 互いに排反である.
$(1枚目,\ 2枚目)=(両面赤,\ 両面赤),\ (両面赤,\ 片面赤),\ (片面赤,\ 両面赤),$
$(1枚目,\ 2枚目)=}\ (片面赤,\ 片面赤),\ (両面青,\ 両面赤),\ (両面青,\ 片面赤)$
すべての面を区別すると2枚目のカードの表は12通りあり,\ これらは同様に確からしい.}
1枚目と2枚目にどのカードを取り出すかで場合分けすると,\ 大変面倒なことになる(本解).
すべての面を区別し,\ 2枚目の表にのみ着目して全事象をとる}と瞬殺である(別解).
まだ1枚も取り出していない時点で,\ 2枚目のカードの表が赤である確率}が題意である.
よって,\ この時点では12通りの面すべてが等確率で2枚目の表になりうる.
(3)\ \ $A:$「\,1枚目のカードの表が赤である」 $B:$「\,1枚目のカードの裏が赤である」
1枚目のカードの表が赤とわかった時点で,\ そのカードの裏が赤である条件付き確率}が題意である.
事象Aが起こったときに事象Bが起こる条件付き確率は P_A(B)=P(A∩ B)}{P(A)}
(4)\ \ $A:$「\,1枚目のカードの表が赤で,\ かつ2枚目のカードの表が青である」
$B:$「\,1枚目のカードの裏が赤である」
事象$A$が起こるのは,\ 以下の2つの場合であり,\ 互いに排反である.
[1]\ \ 1枚目が両面赤のカードで,\ かつ2枚目のカードの表が青である}
[2]\ \ 1枚目が片面赤のカードで,\ かつ表が赤で,\ かつ2枚目のカードの表が青である} $A∩ B:$「\,1枚目が両面赤のカードで,\ かつ2枚目のカードの表が青である」
P(A)を求めるとき,\ 以下のように考えるのは誤り}である.
1枚目のカードの表が赤である確率は,\ (1)より\,7}{12}\,である.
残り11通りの面のうち青の面は5面あるから,\ 2枚目のカードの表が青になる確率は
誤りの理由は,\ 表の色と裏の色が連動していることを考慮していない}ことにある.
1枚目の表の色がわかった時点で,\ 残りの11面は対等ではなくなる.}
実際,\ 以下の12通りの面のうち,\ 1枚目の裏が赤5,\ 赤6,\ 赤7,\ 青4,\ 青5である可能性はない.
(赤1,\ 赤2),\ (赤3,\ 赤4),\ (赤5,\ 青1),\ (赤6,\ 青2),\ (赤7,\ 青3),\ (青4,\ 青5)
この点,\ 2面を扱う本問は1面だけ扱う(1)や(2)とは話が異なるので注意が必要である.
結局,\ 面のみに着目して求めることは難しいので,\ 1枚目のカードが何かで場合分けすることになる.
そして,\ 1枚目のカードが何かさえ決まれば,\ 残りの10面は完全に対等}になる.
うまい考え方に確信がもてないならば,\ 以下のように排反な場合分けをして求めるのが無難である.
(1枚目,\ 2枚目)=(両面赤,\ 片面青),\ (両面赤,\ 両面青),\ (片面赤,\ 片面青),\ (片面赤,\ 両面青)
