リーグ戦の確率

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5チームがリーグ戦を行う.\ ただし,\ 各試合で両チームが勝つ確率はすべて$\bunsuu12$である. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 総試合数を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 4勝するチームが現れる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 4勝するチームと4敗するチームが両方現れる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 5チームの勝利数がすべて異なる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ ちょうど3チームが3勝1敗となる確率を求めよ. \\ リーグ戦の確率}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ \textcolor{red}{5チームから2チーム選ぶ組合せの総数に等しい}から $\textcolor{red}{\kumiawase52}=\bm{10\ (試合)}$ リーグ戦とは\bm{総当たり戦}のことであるから,\ 2チームの選び方の分だけ試合が行われる. 4勝するチームの選び方が$\kumiawase51$通り,\ 4勝する確率が$\left(\bunsuu12\right)^4$である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ 残り6試合はどちらが勝ってもよい. \\[1zh] リーグ戦では,\ 各チームの勝敗が互いに関連し合うため,\ その構造は単純ではない. \\[.2zh] それを視覚的にわかりやすくするのがいわゆる\bm{勝敗表}である. \\[.2zh] 作成方法に決まりはないが,\ 普通,\ 左のチームが上のチームに勝ったときに○を記入する. \\[.2zh] \bm{斜線の右上側さえ決まれば,\ 左下側は自動的に決まる}点が重要である. \\[.2zh] 後は,\ 横一列ごとに読めば,\ 各チームが何勝何敗であるかが一目瞭然になる. \\[.2zh] 何にせよ,\ 実際に自分で手を動かして作成してみることが重要である. \\[1zh] 4勝(全勝)するチームは1チームに限られるから,\ \bm{各チームが4勝する場合は互いに排反}である. \\[.2zh] また,\ \bm{5チームは対等}であるから,\ どのチームが4勝する確率も等しい. \\[.2zh] よって,\ 仮に\mathRM Aが4勝するとして勝敗表を作成した. \\[.2zh] 左のチームが勝つとき○,\ 負けるとき×,\ どちらが勝ってもよいとき△を記入している. \\[.2zh] \bm{○となる確率は\,\bunsuu12,\ ×となる確率も\,\bunsuu12,\ △となる確率は1}である. \\[.8zh] \bm{各試合は独立}であるから,\ \bm{○,\ ×,\ △それぞれの個数分掛け合わせる.} \\[.2zh] ただし,\ 左下側のほうの確率は考えなくてもよい(自動的に決まるから確率はすべて1). \\[.2zh] 後は,\ 勝利チームの選び方を掛けると求める確率となる. \\[.2zh] このように,\ \bm{リーグ戦の確率は,\ 勝敗表を作成して○,\ ×,\ △の個数を数えることに帰着する.} それぞれ4勝,\ 4敗する2チームの選び方が$\zyunretu52$通り,\ その確率がまた,\ 残り3試合はどちらが勝ってもよい. 仮に\text{Aが4勝,\ Bが4敗}するとして勝敗表を作成した. \\[.2zh] \bm{単に2チーム選ぶだけではなく,\ 4勝と4敗にそれぞれ対応させる必要がある}から\,\zyunretu52\,通りである. \\[.2zh] 4勝チームと4敗チームを順に選ぶと考えて,\ \kumiawase51\cdot\kumiawase41\,としてもよい. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  (4)\ \ 各チームの勝利数のパターンが$5\kaizyou$通り,\ その確率が$\left(\bunsuu12\right)^{10}$である. \\[ 仮に\text{Aが4勝,\ Bが3勝,\ Cが2勝,\ Dが1勝}するならば,\ 勝敗表は1通りのパターンしかない. 3勝1敗する3チームの選び方が$\kumiawase53$通り,\ その確率が$\left(\bunsuu12\right)^9$である. \\[.4zh] \phantom{ (1)}\ \ また, 残り1試合はどちらが勝ってもよい.\ さらに,\ 勝敗表は2パターン考えられる. \\[1zh] 仮に\text{A,\ B,\ C}が3勝1敗になるとすると,\ \bm{\mathRM{Aの1敗の相手はDまたはE}ではない.} \\[.2zh] パッとわかることではなく,\ 自分で勝敗表を作成してみて初めて気付ける. \\[.2zh] \text Aが\text{DまたはE}に敗れるということは,\ \text{BとC}のいずれにも勝つということである. \\[.2zh] \text{BとC}は直接対決が残っているから,\ どちらか一方は少なくとも2敗することになってしまう. \\[1zh] 次に,\ \textbf{AがBに1敗するとすると,\ BはCに1敗する}ことになる. \\[.2zh] \text Cは\text Aに1敗することが確定しているから,\ \text Bにも敗れると2敗になってしまう. \\[.2zh] 結局,\ \textbf{3勝1敗になる3チームは,\ 必ず三すくみの状態となる}とわかる. \\[.2zh] つまり,\ \text{AはBに勝ち,\ BはCに勝ち,\ CはAに勝つ}といったような状態である. \\[.2zh] 同様に,\ \text{AはCに勝ち,\ CはBに勝ち,\ BはAに勝つ}といった場合も考えられる(右表). \\[.2zh] どちらのパターンにせよ,\ ○と×は合わせて9個なので,\ その確率は\left(\bunsuu12\right)^9である.
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