確率漸化式(対等性・対称性のある3状態)

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袋の中に1から5までの数字が1つずつ書かれた5個の玉が入っている.\ この中から \\[.2zh] \hspace{.5zw}無作為に1個の玉を取り出し,\ 書かれている数字を記録してから袋の中に戻すという \\[.2zh] \hspace{.5zw}操作を$n$回繰り返したとき,\ 記録した数字の和が3の倍数となる確率を求めよ. \\ 確率漸化式(対等性・対称性のある3状態)}}}} \\\\[.5zh]   $\textcolor{red}{n回繰り返したとき,\ 数字の和が3の倍数となる確率をp_n}とする.   $n+1$回繰り返して和が3の倍数となるのは次の3つの場合で,\ 互いに排反である. \\[.5zh]  {n回後の和が3の倍数で,\ n+1回目に3の玉を取り出す.n回後の和を3で割った余りが1で,\ n+1回目に2か5の玉を取り出す.}$ n回後の和を3で割った余りが2で,\ n+1回目に1か4の玉を取り出す.}$ 整数分野で学習したように,\ \bm{倍数条件は余りに着目する}のが基本である. \\[.2zh] 同様の設定で和が奇数(2で割った余り1)となる確率をすでに2状態の項で求めた. \\[.2zh] 3で割った余りは0,\ 1,\ 2の3種類があるから,\ 本問は\bm{3状態を行き来する問題}である. \\[1zh] 偶数と奇数の組合せは3通りだが,\ 3で割った余りの組合せは以下の6通りがある. \\[.5zh]  (3で割った余り0)+(3で割った余り0)=(3で割った余り0)  0+0\equiv0\pmod3 \\[.2zh]  (3で割った余り0)+(3で割った余り1)=(3で割った余り1)  0+1\equiv1\pmod3 \\[.2zh]  (3で割った余り0)+(3で割った余り2)=(3で割った余り2)  0+2\equiv2\pmod3 \\[.2zh]  (3で割った余り1)+(3で割った余り1)=(3で割った余り2)  1+1\equiv2\pmod3 \\[.2zh]  (3で割った余り1)+(3で割った余り2)=(3で割った余り0)  1+2\equiv3\equiv0\pmod3 \\[.2zh]  (3で割った余り2)+(3で割った余り2)=(3で割った余り1)  2+2\equiv4\equiv1\pmod3\\[.5zh] これらを考慮すると,\ p_{n+1}\,へ推移する場合は3通りあるとわかる. \\[1zh] ここで,\ n回繰り返したとき,\ 3で割った余りが1,\ 余りが2となる確率をそれぞれq_n,\ r_n\,とする. \\[.2zh] p_n+q_n+r_n=1より  このように,\ 確率漸化式では,\ \bm{推移確率が対等である複数の状態をまとめて扱う}ことが有効である. \\[.2zh] しかも,\ 本問の場合は\bm{p_n+q_n+r_n=1}も利用して,\ 直ちにp_n\,のみの漸化式を作成できる. \\[1zh] \bm{3つ以上の状態がある確率漸化式では,\ 対等性・対称性が存在する可能性が極めて高い.} \\[.2zh] 対等性・対称性のない3状態の連立漸化式は,\ 大学受験では相当の難問になってしまうからである. \\[.2zh] \bm{対等性・対称性に注意して立式や式変形する}ことが非常に重要である. \\[1zh] \bm{特殊解型漸化式\ a_{n+1}=pa_n+q}\ は,\ 特性方程式\,\alpha=p\alpha+q\,を解いて特殊解\,\alpha\,を求める. \\[.2zh] すると,\ 等比数列型漸化式\ a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\ に帰着する. \\[1zh] p_n\,は複数の答え方が考えられる. \\[.2zh] p_{n+1}\,と同様にして,\ q_{n+1},\ r_{n+1}\,の漸化式を作成することができる. \\[.2zh] p_1=\bunsuu15,\ q_1=r_1=\bunsuu25\,の違いがあるだけで,\ 3式は完全な対称性をもつ(p_n\,→\,q_n\,→\,r_n\,→\,p_n\,と循環). \\\\ 2状態の対称型連立漸化式と同様に3つの漸化式を足すと p_{n+1}+q_{n+1}+r_{n+1}=p_n+q_n+r_n \\[.2zh] 漸化式の対称性とを求めることもできる. \\\\ 漸化式の対称性を考慮すると,\ ,となることも自然である. 正三角形ABCの各頂点を移動する動点Pがある.\ 動点Pは,\ 1秒ごとに$\bunsuu12$の確率で \\[.5zh] \hspace{.5zw}その頂点に留まり,\ それぞれ$\bunsuu14$の確率で他の2頂点のいずれかに移動する. 動点Pが \\[.5zh] \hspace{.5zw}最初に頂点Aにいるとき,\ $n$秒後に動点Pが頂点Aにいる確率を求めよ. \\ 動点Pが$n$秒後に頂点Aにいる確率を$a_n$}とする. 左が3状態の推移図,\ 右がa_{n+1}\,への推移図であり,\ 問題の構造は前問と全く同じである. \\[1zh] 連立漸化式を作成すると \3つの箱A,\ B,\ Cがあり,\ 最初は箱Aに赤玉,\ 箱Bに白玉,\ 箱Cに白玉が1個ずつ入 \\[.2zh] \hspace{.5zw}っている.\ 1個のコインを投げて表が出ると箱Aと箱Bの玉を交換し,\ 裏が出ると箱B \\[.2zh] \hspace{.5zw}と箱Cの玉を交換するという試行を$n$回繰り返したとき,\ 3つの箱A,\ B,\ Cに赤玉が \\[.2zh] \hspace{.5zw}入っている確率をそれぞれ求めよ.  $n$回繰り返したとき,\ 箱A,\ B,\ Cに赤玉が入っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする. \\\\ 前問ほど対称性が明らかではなく,\ 最初から1状態のみの漸化式を作成するのは困難である. \\[.2zh] そこで,\ とりあえず3状態の連立漸化式を作成してみる. \\[.2zh] 一見3状態に対称性があるように思えるが,\ よく見ると\bm{対称性があるのはa_n\,とc_n\,だけ}である. \\[.2zh] 漸化式に対称性はあるが,\ a_1\neqq c_1\,よりa_n\neqq c_n\,であることには注意する. \\[1zh] 推移確率の対等性とa_n+b_n+c_n=1より,\ \bm{先にb_n\,が求まる}ことに気付かなければならない. \\[.2zh] 後はa_n\,とc_n\,であるが,\ \bm{2状態の対称型連立漸化式と同様に和と差で組む発想}が必要になる. \\[.2zh] a_n+c_n\,は,\ a_n+b_n+c_n=1を利用して直ちに求められる. a_{n+1}-c_{n+1}\,を計算してみると等比数列型漸化式となり,\ a_n-c_n\,を求められる. \\[.2zh] 最後,\ a_n+c_n\,とa_n-c_n\,を連立してa_n,\ c_n\,を求めればよい.
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高校数学A 確率
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