図のような格子状の道路があり,\ A点からB点へ最短距離で移動するものとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ (1)\,～\,(4)の確率を,\ [1]と[2]のそれぞれの条件のもとで求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} [1]\ \ コイン1枚を投げて,\ 表が出たら上に1区画,\ 裏が出たら右に1区画進む. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ [1]}\ \ ただし,\ 一方向しか進めない場合はその方向に確率1で進む. \\[1zh] \hspace{.5zw} [2]\ \ AからBまでの最短経路を等確率で1つ選んで進む. \\\\ \hspace{.5zw} (1)\ \ 赤線のルートで移動する確率 \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 青線のルートで移動する確率 \\[1zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 点Pを通る確率 \\[1zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ S君とT君がそれぞれA点,\ B点を同時に出発し,\ 最短経路かつ同じ速さで \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ それぞれB点,\ A点に向かうとき,\ S君とT君が途中で出会う確率を求めよ. (1)\ \ 本問は,\ \text{A\,→\,B}の最短経路\,\bunsuu{8\kaizyou}{3\kaizyou5\kaizyou}=56\,通りの内の1通りなので\,\bunsuu{1}{56}\,とする\bm{間違い}が多発する. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ これが間違いである理由は,\ \bm{[1]の条件のときは56通りが同様に確からしくない}からである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際,\ [1]の場合,\ \bm{どのタイミングで突き当たるかによって確率が変わってくる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 突き当たった後の経路は一択になるからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 各回の試行は独立であるから,\ 1回ごとの確率の積として求めることになる. \\[1zh] (3)\ \ \text Pまでは↑2回,\ →\,3回進めばよく,\,どの交差点でも2択で1回ごとの確率は常に\,\bunsuu12\,である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\,\bm{反復試行の公式}で求められる.\ \ \kumiawase52\,通りの経路すべてが等確率\left(\bunsuu12\right)^5というわけである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 後は\text{P\,→\,B}の確率である.\ 単純には,\ どこで突き当たるかで場合分けしようと思うかもしれない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ \bm{[1]のルールでは必ず\textbf Bに到達する}から,\ 考えるまでもなく\textbf{P\,→\,B}\bm{の確率は1}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一応確認しておくと,\ 以下の3つの場合の和なので,\ \phantom{(1)}\ \ 場合の数分野と同様,\ \bm{各交差点までの確率を書き込んでいく最終手段}も重要である(右図). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ただし,\ 場合の数とは異なり,\ 単に左と下の確率を足せばよいわけではないことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ \bm{点\textbf Pには左と下からそれぞれ\,\bunsuu12\,の確率で移動してくるので,\ これを掛けてから足す. \phantom{(1)}\ \ 当然,\ 突き当たりの交差点から移動してくる場合には\,\bunsuu12\,を掛けてはならない. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ このようにして左下から順番に書き込んでいくと,\ 点\text{B}までの確率は必然的に\,\bunsuu{128}{128}=1となる. 2人が出会うのは下図のK点,\ L点,\ M点,\ N点のいずれかである. まずは2人がどの地点で出会うかを確認する. \\[.2zh] \text A点から出発する\text S君は,\ \bm{コインをn回投げたとき,\ n番目の斜線上のどこかの点にいる.} \\[.2zh] \text B点から出発する\text T君についても同様であるから,\ 2人が出会う可能性があるのは4点である. \\[1zh] 「\text K点で出会う」は,\ 「\mathRM{S君がA\,→\,K\,→\,BかつT君がB\,→\,K\,→\,A}」である. \\[.2zh] ただし,\ \mathRM{S君のK\,→\,BとT君のK\,→\,A}の確率は1であり,\ 実質無視できる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{対称性}も考慮すると,\ 求める必要があるのは4ルート(\mathRM{A\,→\,K,\ L,\ M,\ N})の確率である. \\[.2zh] \text{A\,→\,K}の確率は,\ 突き当たるか否かで場合分けを要する(\mathRM{A\,→\,k_1\,→\,KとA\,→\,k_2\,→\,K}). \\[.2zh] 最後,\ \mathRM{(K点で出会う)+(L点で出会う)+(M点で出会う)+(N点で出会う)}を計算すればよい. \bm{最短経路の1つ1つが同様に確からしい}のが[2]である. \\[.2zh] よって,\ 単純に\,\bunsuu{(条件を満たす最短経路の数)}{(最短経路の総数)}\,を求めればよい. \\[.8zh] 縦m区画,\ 横n区画の最短経路の総数は,\ \bm{\bunsuu{(m+n)\kaizyou}{m\kaizyou n\kaizyou}}\,で求められるのであった. \\[.8zh] これは,\ m個の↑とn個の\,→\,の順列(同じモノを含む順列)の総数である. 図のような格子状の道路があり,\ A点からB点へ最短距離で移動するものとする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}コイン1枚を投げて,\ 表が出たら上に1区画,\ 裏が出たら右に1区画進む. \\[.2zh] \hspace{.5zw}ただし,\ その方向に進めない場合は交差点に留まるものとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ コインを8回投げて,\ P点を経由してB点に到達する確率を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ コインをちょうど10回投げて,\ P点を経由してB点に到達する確率を求めよ. \\ (2)\ \ \textcolor{red}{P点到達後にコインを5回投げてC点,\ D点(下図)の内の一方に到達}すればよい. \\\\ (1)\ \ 前問とは異なり,\ \bm{進めない場合にはその場に留まる}ことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 突き当たった後も\text Bの方向に進む確率は\,\bunsuu12\,なので,\ 場合分けをする必要がなくなる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ その一方,\ 必ず\text Bに到達するとは言えなくなるので,\ \textbf{P\,→\,Bの確率は1ではなくなる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 8回で\text Bに到達するには停滞なく進む必要があるから,\ 表と裏の回数はすぐにわかる. \\[1zh] (2)\ \ \bm{最後の1回を分けて考える.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ちょうど10回で\text Bに到達するとき,\ \bm{9回の時点で\mathRM{CかD}にいる}はずである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \text{A\,→\,P}で停滞する可能性はないので,\ \textbf{P\,→\,CかP\,→\,D}\bm{のどこかで2回停滞する}必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 停滞が絡むと面倒になりそうに思えるが,\ 場合分けする必要もない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{P\,→\,C}では,\ 停滞するならば一番上の道路にいるときに表(↑)が出るパターンしかない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 表を2回プラスすれば済む.\ \ 同様に考えると,\ \text{P\,→\,D}では裏を2回プラスすれば済む. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{A\,→\,P}は(1)より\,\bunsuu38,\ \text{C\,→\,B,\ D\,→\,B}はいずれも\,\bunsuu12\,である. \phantom{(1)}\ \
