初めて起こるまでの回数の期待値

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}1個のサイコロを繰り返し振るとき,\ 以下の条件における振る回数の期待値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 1の目が出るか,\ $n$回振った時点で終了する(数B) \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 1の目が出た時点で終了する(数I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I)とき初めて起こるまでの回数の期待値}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ $k$回目で初めて1の目が出る確率は \ $n$回振っても1の目が出ない確率は {n=1のときも成り立つ})$} \\\\\\[1zh] 無理矢理, 階差の形$f(k)-f(k+1)$を作る}\, n回振ることになるときのみ,\ 以下の2つの場合がありえることに注意して立式する. \\[.2zh]  「\,n回目に初めて1が出る」「\,n回振っても1の目が出ない」 \\[.2zh] 要はn-1回目までとn回目で話が変わるので,\ n-1回目がないn=1の場合を分ける必要がある. \\[1zh] \bunsuu16\,をくくり出すと,\ 下線部は\bm{(等差)\times(等比)の和}(数\text B:数列)である. \\[.8zh] この和は\bm{S-rS法(公比を掛けたものをずらして引くと等比数列の和に帰着)}で求まるのであった. \\[.2zh] 普通は等比数列の和に初項(本問では1\cdot1)を含められないが,\ 本問はたまたま含められる. \\[.2zh] 1\cdot1=1\cdot\left(\bunsuu56\right)^0から1\cdot\left(\bunsuu56\right)^{n-1}までの和なので,\ 項数n個,\ 初項1,\ 公比\,\bunsuu56\,である. \\[.8zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r} \\\\ n=1のとき,\ 1回で確実に終了するから,\ E(X)=1である. \\[.2zh] n\geqq2のときのE(X)=6\left\{1-\left(\bunsuu56\right)^n\right\}に試しにn=1を代入してみると,\ E(X)=1となる. \\\\ 初見で気付くのは困難だが,\ E(X)\ (n\geqq2)の求め方は別解がよりスマートである(上級者向け). \\[.2zh] 一般に,\ 一般項a_k\,を階差の形f(k)-f(k+1)で表すことができれば,\ 以下の原理で必ず和が求まる. \\とすると階差の形になる. \\[.8zh] 勿論,\ \retuwa{k=1}{n}\left(\bunsuu56\right)^n\left(初項\,\bunsuu56,\ 公比\,\bunsuu56,\ 項数nの等比数列の和\right)を足して辻褄を合わせる必要がある. 1の目が出るまで無限に続くことになるから,\ \bm{無限和}を求めることになる. \\[.2zh] 無限和は,\ \bm{有限和(第n項までの和)を求めた後nを無限大の極限に飛ばす}と求まる(数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}:極限). \\[.2zh] 第n項までの和とは(1)の\,\bunsuu16S\,のことであるから,\ これのnを無限大に飛ばせばよい. \\[.8zh] 当然\dlim{n\to\infty}r^n=0,\ また,\ 問題より\dlim{n\to\infty}nr^n=0である. \\[.8zh] 1回の確率\,\bunsuu16\,ならば,\ 初めて起こるまでの平均試行回数が6回になるというのは直感とも一致する. \\\\ 本問を一般化すると,\ 有名な事実が導かれる.\ \ \bunsuu16=pとして同様に計算するだけである. つまり,\ \bm{1回の確率pの事象が実際に起こるまで繰り返すときの試行回数の期待値は\,\bunsuu1p}\,となる.
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高校数学A 確率
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