確率漸化式(2状態+途中で終了)

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AとBの2人が,\ 1個のサイコロを次の手順により投げ合う. \\[.5zh] \hspace{.5zw}  1回目はAが投げる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  1,\ 2,\ 3の目が出たら,\ 次の回には同じ人が投げる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  4,\ 5の目が出たら,\ 次の回には別の人が投げる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}  6の目が出たら,\ 投げた人を勝ちとし,\ それ以降は投げない. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $n$回目にAがサイコロを投げる確率$a_n$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ ちょうど$n$回目のサイコロ投げでAが勝つ確率$p_n$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $n$回以内のサイコロ投げでAが勝つ確率$q_n$を求めよ.      [\,一橋大\,] 確率漸化式($\bm{2状態+途中で終了}$)}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ $n$回目にBがサイコロを投げる確率を$b_n$とする. $n+1$回目にAがサイコロを投げるのは次の2つの場合であり,\ 互いに排反である. n回目に\text{A}が投げ,\ 1,\ 2,\ 3の目が出る.}$ \\[.5zh] n回目に\text{B}が投げ,\ 4,\ 5の目が出る.} \phantom{ (1)}\ \ $n+1$回目にBがサイコロを投げるのは次の2つの場合であり,\ 互いに排反である. \\[.5zh] n回目に\text{B}が投げ,\ 1,\ 2,\ 3の目が出る.}$ \\n回目に\text{A}が投げ,\ 4,\ 5の目が出る.}$ \\[1zh] a_n+b_n\}$は,\ 初項$a_1+b_1=1+0=1$,\ 公比$\bunsuu56$の等比数列である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\{a_n-b_n\}$は,\ 初項$a_1-b_1=1-0=1$,\ 公比$\bunsuu16$の等比数列である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $よって  a_n+b_n=\left(\bunsuu56\right)^{n-1},  a_n-b_n=\left(\bunsuu16\right)^{n-1}$ 基本的には,\ 前項で取り上げた問題と同様の\bm{2状態を行き来するタイプの確率}である. \\[.2zh] しかし,\ n回目以前に勝敗が決まっている場合もありえるので,\ \bm{a_n+b_n=1が成立しない.} \\[.2zh] 単純にはa_n\,のみの漸化式の作成ができず,\ \bm{b_n\,の漸化式も作成して連立する}ことになる. \\[.2zh] 結局,\ 本問の場合は\bm{対称型の連立漸化式\ \begin{cases} a_{n+1}=pa_n+qb_n \\[.2zh] b_{n+1}=qa_n+pb_n \end{cases}}\hspace{-.5zw}となる. \\\\[-.5zh] この型は,\ \bm{和と差で組み直すと等比数列型漸化式に帰着する}のであった. \\[1zh] この解答は,\ 見かけ上は6の目が出て終了する場合を考慮していないようにも思える. \\[.2zh] しかし,\ 実はその条件も数式に組み込まれている.\ 以下のようにとらえると納得できるだろう. \\[.2zh] n回目前に終了しており,\ n回目に\text Aも\text Bも投げない確率をc_n\,とする. \\[.2zh] c_n\,からa_{n+1},\ b_{n+1}\ (\text{AやB}が投げる)に推移する確率は0である. \\[.2zh] つまり,\ 以下の3式が成立するが,\ c_n\,を求めないのであれば,\ 下2式の連立のみで済むわけである. \\ 実は,\ a_n+b_n\,は直接的に求めることができるので,\ a_n\,のみの漸化式の作成も可能である. \\[.2zh] \bm{n-1回連続して6以外の目が出れば,\ n回目に\textbf{AかB}が投げることになる.} \\[.2zh] よって,\ a_n+b_n=\left(\bunsuu56\right)^{n-1}であり,\ これを利用すると\bm{指数型漸化式\ a_{n+1}=pa_n+r^n}\ が現れる. \\[.8zh] この型は,\ \bm{r^{n+1}\,で両辺を割った後に置換する}と\bm{特殊解型漸化式に帰着する}のであった. \\[.2zh]  (置換のために指数と添え字をnでそろえた) n回目$にAが投げ,\ 6の目が出る}確率である. q_n=p_1+p_2+\cdots\cdots+p_n\,であり,\ \retuwa{}{}を用いると簡潔に表せる. \\[.2zh] \retuwa{k=1}{n}r^{k-1}\,は,\ \bm{初項1,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和}である. \\[.2zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 \bm{\bunsuu{a(1-r^n)}{1-r}}
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