n$を自然数とする.\ 毎回$1n$の確率で当たるくじを$n$回引く.
(1)\ \ $n$回すべてはずれる確率を$P_n$とするとき,\ $lim{n\to∞}P_n$を求めよ(数n≧5$とする.\ ちょうど5回当たる確率を$Q_n$とするとき,\ $lim{n\to∞}Q_n$を求めよ(数反復試行の確率の極限と自然対数の底$e}自然対数の底eの定義
確率に関するある種の極限計算では,\ 自然対数の底eが現れる.\ なお,\ e≒2.71である.
テーマとして興味深く,\ 極限の知識も含めて総合力を問えるため,\ 頻出する.
もっとも,\ 都合よくeが現れる極限は限られており,\ ほとんどは有名パターンである.
\ \ lim{n\to∞}1-1n^nは単純には1^{∞}\,となるが,\ これは不定形なので1としてはならない.
\ \ 1^{∞}\,の不定形になる極限は,\ 自然対数の底eの定義を利用して求める}必要がある.
\ \ 定義式と見比べ,\ 括弧内が一致するように置換する.
\ \ P_n\,の収束はかなり速く,\ n=6程度ですでにほぼ\,13\,となる.
\ \ つまり,\ nの値によらず,\ すべてはずれる確率はおおよそ\,13\,程度というわけである.
\ \ 逆にいえば,\ nの値によらず,\ 少なくとも1回当たる確率はおおよそ\,23\,程度である.
(2)\ \ 同じ試行をn回繰り返すとき,\ 確率pの事象Aがr回起こる確率は C nrp^r(1-p)^{n-r}
\ \ n･･･(n-4)}{n^5}\,の極限は展開せずとも,\ 分母のn^5\,を分子の5つの積に1つずつ分配する}とよい.
\ \ 指数部分のn-5を分割すると,\ (1)の極限に帰着する.
\ \ 本問の5をrとすると容易に一般化でき,\ ちょうどr回当たる確率の極限は\,1}{r! e\,となる.
\ \ r=0の場合が(1)である.\ \ 0!=1という決まりなので,\ 1}{0! e}=1e\,となる.
