サイコロを$n$回振るとき,\ 出る目の最大値をX,\ 最小値を$Y$とする.\
(1)\ \ $X=6$となる確率を求めよ.
(2)\ \ $X=5$となる確率を求めよ.
(3)\ \ $Y=3$となる確率を求めよ.
(4)\ \ $X=5$かつ$Y=3$となる確率を求めよ.
(5)\ \ $X-Y=2$となる確率を求めよ. \\
{最大値と最小値の確率 \\
$X=k$となる確率を$P(X=k)$のように表す.
二項定理(数II)を利用
最大値・最小値の確率は,\ 同じ数字が複数選ばれる可能性がない場合は単純に求められる.
例えば,\ 1から10までの数字から同時に3個選ぶとき,\ 最大の数字が6の確率を求めるとしよう.
1個は6で確定なので残り2個の数字を5以下の5個から選べばよく,\ C52}{C{10}{3=1}{12}\,となる.
ここでは,\ 同じ数字が複数選ばれる可能性がある場合の最大値・最小値の確率の求め方を紹介する.
この場合は直接的に求めることが難しくなるので,\ 余事象や差事象を利用する}方法が推奨される.
(1)\ \ 「最大値6\,」は,\ 「\,n回のうち少なくとも1回6の目が出る」}と言い換えられる.
\ \ このように,\ 「最大値・最小値」には「少なくとも～」が隠れているため,\ 余事象を利用}できる.
\ \ 「\,n回のうち少なくとも1回6が出る」の余事象は,\ 「\,n回すべて5以下の目が出る」}である.
\ \ 「\,n回すべて○以上・○以下」の確率ならば容易に求まる}ことを利用するわけである.
(2)\ \ 「最大値5\,」=「\,n回すべて5以下の目が出て,\,かつ,\,n回のうち少なくとも1回5の目が出る」}
\ \ (1)とは違って6の目が出てはいけないという条件}もあるから,\ 1-P(X≦4)は誤りである.
\ \ 「\,すべて5以下」というn回全体に関する条件に着目して全事象をとるのがポイントである.
\ \ つまり,\ 「\,n回すべて5以下の目が出る」から「\,n回すべて4以下の目が出る」を引けば済む.}
\ \ 結局,\ 最大値・最小値の確率は,\ タマネギの断面図のイメージ}が全てである.
\ \ 全事象Uの中に「すべて5以下の目が出る」があり,\ これを除くと「最大値6\,」となる.
\ \ さらに,\ 「すべて5以下の目が出る」の中に「すべて4以下の目が出る」がある.
\ \ 「すべて5以下の目が出る」から「すべて4以下の目が出る」を除くと,\ 「最大値5\,」となる.
\ \ なお,\ 以下のように求めると間違うので注意してほしい.
\ \ 1回目に5の目が出る(他の回は5以下ならば何でもよい)確率は 1656^{n-1}
\ \ 2回目,\ 3回目,\ ･･･,\ n回目に5の目が出る確率も同じである.
\ \ よって P(X=5)=(1回目5)+(2回目5)+･･･+(n回目5)=1656^{n-1}× n
\ \ (1回目5),\ ･･･,\ (n回目5)は排反ではない}から,\ 単純に足しても求まらない.
\ \ 直接的に求めることも可能だが,\ 二項定理}の知識を要する(別解).
\ \ 排反か否かは後から考えるのではなく,そもそも排反になるように場合分けすべき}なのであった.
\ \ n回のうち5の目が何回出るかで場合分けすると排反になる.}
\ \ 各場合は,\ 同じ試行をn回繰り返すという反復試行}の確率である.
\ \ 確率pの事象Aがr回,\ 確率qの事象Bがn-r回起こる確率は C nrp^rq^{n-r}
\ \ 5の目がちょうど1回出るとき
\ \ これらの和を次の二項定理を用いてまとめる}ことを考える.\ なお,\ C n0=C nn=1である.
\ \ (a+b)^n=C n0a^n+C n1a^{n-1}b+C n2a^{n-2}b^2+･･･+C{n}{n-1}ab^{n-1}+C nnb^n
\ \ 46^nを無理矢理作る}と公式を適用できる.
(3)\ \ 「\,n回すべて3以上の目が出る」から「\,n回すべて4以上の目が出る」を除く.}
「最大値5かつ最小値3\,」は以下のように言い換えられる.
「\,n回すべて3か4か5で,\ かつ少なくとも1回3が出て,\ かつ少なくとも1回5が出る」}
とりあえず,\ 「\,n回すべて3か4か5の目が出る」を全事象Uとする.}
求める確率は,\ このUの中で}以下となるような確率である.
「少なくとも1回3の目が出る(A)」かつ「少なくとも1回5の目が出る(B)」}
「少なくとも～」かつ「少なくとも～」の確率}は,\ 前項で述べた通り,\ 余事象を利用}して求める.
集合の観点からとらえるとほぼ機械的に処理できる}のであった.
ド・モルガンの法則\ A∩ B}= A∪ B}\ により,\ 結局P( A),\ P( B),\ P( A∩ B)に帰着する.
A:「\,Uの中で,\ n回のうち1回も3の目が出ない」=「\,n回すべて4か5の目が出る」
B:「\,Uの中で,\ n回のうち1回も5の目が出ない」=「\,n回すべて3か4の目が出る」
A∩ B:「\,Uの中で,\ n回のうち1回も3の目も5の目も出ない」=「\,n回すべて4の目が出る」
後は,\ 全事象の確率P(U)が1ではない}ことに注意して求めればよい.
ベン図}でとらえる場合,\ 周りの部分が求めるA∩ Bであると考える}と考えるとわかりやすい.
なお,\ P(A∩ B)=P(A)･ P(B)は一般には成り立たない}のであった(参照:事象の独立と従属)
よって,\ (2)と(3)を用いてP(X=5,\ Y=3)=P(X=5)･ P(Y=3)で求めるのは誤り}である.
たまたまP(A)･ P(B)の計算結果が正答と一致する可能性はあるが,\ 論理不足とみなされる.
本問の場合は,\ P(X=5)･ P(Y=3)の計算結果はそもそも正答と一致しない.
$X-Y=2$となるのは,\ $(X,\ Y)=(3,\ 1),\ (4,\ 2),\ (5,\ 3),\ (6,\ 4)}$のときである.
X-Y=2となる(X,\ Y)の組合せは4通りある.
(4)と同様に考えると,\ どの組合せに対する確率も同じである.
