最大値・最小値の確率

サイコロを$n$回投げるとき,\ 出る目の最大値を$X$,\ 最小値を$Y$とする.  $X=6\ となる確率を求めよ.$  $X=5\ となる確率を求めよ.$  $Y=3\ となる確率を求めよ.$  $X=5\ かつ\ Y=3\ となる確率を求めよ.X=k\ となる確率をP(X=k)\ のように表す.$ 「最大値6」を言い換えると,\ {「n回のうち少なくとも1回は6が出る」}である. \ このように,\ 「最大値・最小値」には,\ 「少なくとも~」が隠れている. \ 「少なくとも~」を含む場合,\ {余事象}を利用するのが有効であった. \ 「少なくとも1回は6が出る」の余事象は,\ {「すべて5以下の目が出る」}である. \ {「以上・以下」は容易に求められる}から,\ これを1から引けばよい. \ 「最大値5」は,\ {「すべて5以下で,\ かつ少なくとも1回は5が出る」}である. \ とは違い,\ {6が出てはいけないという条件}も加わっている. \ 単に1から「すべて4以下」を引いただけでは,\ 6が出る場合も含んでしまう. \ この場合,\ {「すべて5以下」から「すべて4以下」を引けばよい}のである. \ 結局,\ 最大値・最小値の確率は,\ {タマネギ型の図のイメージ}が全てである. \ 全事象の中に事象「1~5が出る」があり,\ 除くと事象「最大値6」となる. \ さらに,\ 事象「1~5が出る」の中に事象「1~4が出る」がある. \ 「1~5が出る」から「1~4が出る」を除くと,\ 事象「最大値5」となる. \ と同様に,\ タマネギ型の図をイメージする. \ {「すべて3以上」から「すべて4以上」を除く}と,\ 「最小値3」となる. 「最大値5かつ最小値3」を言い換える. {「全て3~5で,\ かつ少なくとも1回は3が出て,\ かつ少なくとも1回は5が出る」} {「3~5が出る」を全体}とする.\ ここから,\ 次を除けばよい. {「1回も3が出ない(すべて4,\ 5)」\ または}\ 「1回も5が出ない(すべて3,\ 4)」} この2つの事象は{排反ではない}から,\ 重複部分「すべて4」の考慮が必要である. つまり,\ {(4,\ 5または3,\ 4)=(4,\ 5)+(3,\ 4)-}\ となる. これを全体「すべて3~5」から引けばよい. ベン図で考えるとわかりやすい.\ 求めるのは,\ 図の色塗り部分の確率である.
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