サイコロを2回投げ,\ 1回目に出た目を$a$,\ 2回目に出た目を$b$とする.
2次方程式$x^2-ax+b=0$について,\ 以下の問いに答えよ.
(1)\ \ 重解をもつ確率を求めよ.
(2)\ \ 異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ.
(3)\ \ 解がすべて無理数となる確率を求めよ.
ただし,\ $k$が平方数でなければ$√ k$が無理数であることを用いてもよい.2次方程式の解の条件と確率 \\
(1)\ \ 判別式を$D$とすると,\ 重解をもつ条件は
(2)\ \ 異なる2つの実数解をもつ条件は
(3)\ \ 解が有理数となる条件は$D=a^2-4b$が平方数}となることである.
解がすべて有理数となる組合せは 解がすべて無理数となる確率は
2次方程式分野との融合問題であるが,\ 確率の問題としては特別に目新しいポイントはない.
2次方程式の十分な理解があれば問題の条件を言い換えることができ,\ その後は書き出す他ない.
(1)\ \ 整数論の観点から絞り込みを行うとわずかに楽できる.
\ \ a^2=4bより,\ a^2\,は4の倍数,\ つまりaは偶数}であるから,\ a=2,\ 4,\ 6のみ考慮すれば済む.
(2)\ \ a^2>4bとして考えるとよい.
\ \ 大した組数ではないのですべて書き出したが,\ 問題の条件次第では組数が多くなる.
\ \ その場合,\ 「\,a=6のときbは6通り」のように組数さえ記述しておけば十分である.
(3)\ \ 2次方程式ax^2+bx+c=0の解はx=-\,b±√{D{2a}\,である.
\ \ よって,\ 解が有理数か無理数かはDが平方数(整数の2乗)か否かで決まる.}
\ \ Dが平方数のとき当然D>0であるから,\ (2)の17通りについてのみ考慮すれば済む.
\ \ 17通りの中からa^2-4b=1^2,\ 2^2,\ 3^2,\ 4^2,\ 5^2\,となる組(a,\ b)を探すと,\ 5組見つかる.
\ \ これらは解が有理数となる組であるから,\ 解が無理数となるのは17-5=12組である.
\ \ ちなみに,\ 整数aが整数bより1大きいとき,\ a^2-4bは必ず平方数となる.
\ \ a=n+1,\ b=nのとき,\ a^2-4b=(n+1)^2-4n=n^2-2n+1=(n+1)^2\,だからである.
\ \ これ以外の場合に平方数となる可能性の否定はできず,\ 他の場合を調べなくてよいわけではない.
