確率漸化式(偶数回と奇数回で場合分け)

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正方形ABCDがあり,\ この順を正の向き,\ 逆を負の向きとする.\ 最初頂点Aにある動点 \\[.2zh] \hspace{.5zw}Pは1秒ごとに次の頂点に移る.\ 正の向きに次の頂点に移る確率は$\bunsuu23$,\ 逆の負の向き \\[.5zh] \hspace{.5zw}に次の頂点に移る確率は$\bunsuu13$とするとき,\ $n$秒後に動点Pが頂点A,\ B,\ C,\ Dにある確 \\[.5zh] \hspace{.5zw}率をそれぞれ求めよ. 確率漸化式(偶数回と奇数回で場合分け)}}}} \\\\[.5zh]   $n$秒後に動点Pが頂点A,\ B,\ C, Dにある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$とする. \\\\  $k$を自然数とする. \\[1zh]  初項$\textcolor{cyan}{a_2}-\bunsuu12=\textcolor{cyan}{\bunsuu49}-\bunsuu12=-\bunsuu{1}{18}$,\ 公比$-\bunsuu19$の等比数列である. n=2k-1$\ ($n$が奇数)}のとき 頂点\text{A,\ B,\ C,\ D}という4状態を行き来する問題である. \\[.2zh] 当然,\ 4つの漸化式を連立する必要などなく,\ 問題の構造を見抜けるかが問われている. \\[1zh] 本問は,\ 1秒ごとに必ず他の頂点に移動する. \\[.2zh] \bm{同じ状態に留まることがない場合,\ 特定の回に特定の状態のみをとることが起こりやすい.} \\[1zh] 実際,\ \textbf{動点Pは,\ 偶数秒後は頂点A,\ Cの一方,\ 奇数秒後は頂点B,\ Dの一方にある.} \\[.5zh]  \textbf{A\ →\ (B\ or\ D)\ →\ (A\ or\ C)\ →\ (B\ or\ D)\ →\ (A\ or\ C)}\ \bm{→\ \cdots\cdots} \\[.5zh] 結局,\ \bm{偶数秒後と奇数秒後で場合分けし,\ 2秒分の移動をワンセットで考える}ことになる. \\[1zh] 場合分けにより,\ 基本的な2状態の確率漸化式の問題となる. \\[.2zh] 最終的に,\ \bm{1つおきの特殊解型漸化式}に帰着する.\ 基本的には普通の特殊解型漸化式と同様である. \\[.2zh] ただし,\ 第2k項が最初からk番目の項である(第2k項までの項数はk個である)ことに注意する. c_n\,は1-a_n\,によって求められる.\ \ nが奇数の場合も同様である. \\\\ 練習のため,\ 4つの漸化式を連立する方法も示す.\ 対称型の連立漸化式と同様に\bm{和と差で組み直す.}  \bm{nをn+1にずらす}ことでb_n,\ d_n\,を消去する. \\[1zh] 片面が白色,\ もう片面が黒色のカードが3枚あり,\ 3枚とも白色の面を表にして横一列 \\[.2zh] \hspace{.5zw}に並べてある.\ \ 3枚のうちから1枚を無作為に選んで裏返すという操作を$n$回繰り返し \\[.2zh] \hspace{.5zw}たとき,\ ちょうど1枚のカードだけ黒色の面が表になっている確率$p_n$を求めよ. \\   1回の操作で,\ 黒色の面が表のカードは1枚増えるか1枚減るかのどちらかである. \\[.2zh]   \textcolor{red}{ちょうど1枚のカードだけ黒色の面が表となるのは,\ 操作を奇数回行ったとき}である. \\\\   $k$を自然数とする. \\[1zh] n=2k\ (nが偶数)}$のとき $p_{2k}=0$n=2k-1\ (nが奇数)}$のとき \\[1zh] 黒色の面が表のカードの枚数をXとする. \\[.2zh] Xの値は,\ 表が白色のカードを裏返すと+1,\ 表が黒色のカードを裏返すと-1される. \\[.2zh] \bm{[\,X=0\,][\,X=1\,][\,X=2\,][\,X=3\,]の4状態を行き来するが,\ 同じ状態に留まることはない.} \\[.2zh] \bm{奇数回の操作後のXは必ず奇数(1か3),\ 偶数回の操作の後のXは必ず偶数(0か2)}となる. \\[.2zh] 結局,\ 奇数回の操作後のXのみを考えればよく,\ 基本的な2状態の確率漸化式の問題となる. \\[1zh] 最初の1回の操作後には黒色の面が表のカードは必ず1枚になるから,\ p_1=1である. 正三角形ABCがあり,\ この順を正の向き,\ 逆を負の向きとする.\ 最初頂点Aにある動点 \\[.2zh] \hspace{.5zw}Pが,\ 1秒ごとに$\bunsuu16$の確率でその頂点に留まり,\ $\bunsuu23$の確率で正の向きに次の頂点に \\[.5zh] \hspace{.5zw}移り,\ $\bunsuu16$の確率で負の向きに次の頂点に移るとき,\ $n$秒後に動点Pが頂点Aにある確 \\[.5zh] \hspace{.5zw}率を求めよ.   動点Pが$n$秒後に頂点A, B,\ Cにいる確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とする. \\[.5zh] 偶数回と奇数回で場合分けする問題ではないが,\ \bm{2つおきの漸化式に帰着する}のでここで取り上げた. \\[1zh] 対等性・対称性がありそうだが,\ すぐには利用できないのでとりあえず3状態の漸化式を作成する. \\[.2zh] \bm{確率の和が1である}ことと,\ \bm{a_{n+1}\,への推移におけるa_n\,とb_n\,の対等性}を利用して変形する. \\[.2zh] b_n\,とc_n\,が対等であったならば,\ この時点でa_n\,のみの漸化式ができ,\ 万事解決するのであった(前項). \\[.2zh] しかし,\ 本問の場合はc_n\,で表すことしかできず,\ b_{n+1}\,とc_{n+1}\,も同様に変形して連立することになる. \\[1zh] 漸化式を普通に連立するとき,\ nをn+1にずらして代入する必要がある. \\[.2zh] 本問の場合は\bm{nをn+2にずらして2段階で代入}すると,\ a_n\,のみの漸化式となる. \\[.2zh] \bm{2つおきの漸化式}なので,\ n=1,\ 4,\ \cdots\,とn=2,\ 5,\ \cdots\,とn=3,\ 6,\ \cdots\,の3つに場合に分ける. \\[1zh]
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