じゃんけんの確率②(n回のじゃんけん)

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4人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は$ $次の回からは参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\ $ $ 1回目で勝者が決まる確率を求めよ.$ $ 2回目で勝者が決まる確率を求めよ.$ 「1人の勝者を決める」や「順位を決める」問題は,\ {人数の推移に着目}する. 最初に,\ {1回のじゃんけんによる人数の推移の確率をすべて求めておく.} 各回の試行は{独立}であるから,\ 人数の推移のパターンごとにn回掛ければよい. さらに,\ 各推移パターンは{排反}であるから,\ 最後に足し合わせる. \ じゃんけんの公式\ 3^n\ を適用する. \ 2回目で勝者が決まるときの人数の推移パターンは次の3通りがある.    最初 \ 1回目 2回目}結局,\ 6通りの人数の推移の確率を全て求めることになる. \ ただし,\ 「4→1」は,\ が利用できるから求める必要はない. 3人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は$ $次の回からは参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\ $ $ n回目で勝者が決まる確率を求めよ.$ $ n回目までに勝者が決まる確率を求めよ.$ {n回目までに勝者が決まらない確率}を考える.n回目までに2人になり,\ 後はそのまま}である$確率は  あり得る人数の推移は,\ 3→1,\ 3→2,\ 3→3,\ 2→1,\ 2→2\ の5つである. これらの確率を,\ あらかじめ全て求めておく. {3人じゃんけんでは,\ 「1人が勝つ」「2人が勝つ」「あいこ」が全て\ 13}\ となる. これは覚えておくとよい.\ また,\ このために,\ の答えがわりと綺麗になる. \ n回目で勝者が決まる推移は次の2パターンがあり,\ 互いに{排反}である. (.14zw}i.14zw})}\ {ずっと3人で,\ n回目に1人}になる.  n-1回目までの「3→3」はすべて\ 13\ であるから,\ (13)^{n-1}\ である. {(ii)}\ さらに,\ n回目の「3→1」も\ 13\ であり,\ これを掛けると結局(13)^n\ となる. (ii)}\ {n-1回目までのどこかで2人になり,\ n回目に1人}になる. 「3→3」「3→2」「2→2」(計n-1回)はすべて\ 13,\ 「2→1」のみ\ 23\ である. {(ii)}\ よって,\ どこで2人になるとしても,\ その確率は ここで,\ どこで2人になるかは,\ {1回目~n-1回目のn-1通り}がある. {(ii)}\ ゆえに,\ n-1倍することになる. {(ii)}\ 上の解答では少し難しく記述したが,\ 要点は同じである. {(ii)}\ k回目に「3→2」}が起こるとすると,\ k-1回目までは「3→3」である. {(ii)}\ 「3→2」「3→3」は\ 13\ なので,\ k回目までの確率は {(ii)}\ さらに,\ k+1回目からn-1回目までは「2→2」の\ 13\ である. {(ii)}\ これは,\ (n-1)-(k+1)+1=n-k-1回ある. {(ii)}\ さらに,\ 最後のn回目の「2→1」が\ 23\ であるでも求まるが,\ 数列の知識も必要となり大変である. {(ii)}\ {余事象(n回しても1人にならない確率)}を考えて求めるのが簡潔である. {(ii)}\ n回しても勝者が決まらない推移は次の2つがあり,\ 互いに{排反}である. (.14zw}i.14zw})}\ {ずっと3人のまま}である. {3→3→3→→3→3→3} 確率は(13)^n (ii)}\ {n回目までのどこかで2人になり,\ その後は2人のまま}である. {(ii)}\ {3→3→→3→3→2}→2→→2→2→2} {(ii)}\ 「3→3」「3→2」「2→2」はいずれも\ 13\ である. {(ii)}\ よって,\ どこで2人になるとしても,\ その確率は(13)^n\ となる. {(ii)}\ ここで,\ どこで2人になるかは,\ {1回目~n回目のn通り}がある. {(ii)}\ ゆえに,\ n倍することになる.
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