n回のじゃんけんで勝者が決まる確率

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4人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は次の回からは \\[.2zh] \hspace{.5zw}参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 1回目で勝者が決まる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 2回目で勝者が決まる確率を求めよ. \\ n}$回のじゃんけんで勝者が決まる確率}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ $\textcolor{red}{4人}が1回じゃんけんして\textcolor{red}{1人が勝つ}確率は  (2)\ \ $\textcolor{red}{4人}が1回じゃんけんして\textcolor{red}{2人が勝つ}確率は 4人}が1回じゃんけんして\textcolor{red}{3人が勝つ}確率は 4人}が1回じゃんけんして\textcolor{red}{あいこ}になる確率は 2人}が1回じゃんけんして\textcolor{red}{1人}が勝つ確率は 3人}が1回じゃんけんして\textcolor{red}{1人}が勝つ確率は  n回のじゃんけんで「\,1人の勝者を決める」や「順位を決める」問題は,\ \bm{人数の推移に着目}する. \\[.2zh] 1回のじゃんけんで○人から○人に推移する確率は,\ 全てじゃんけんの基本公式\,\bm{\bunsuu{\kumiawase nk\times3}{3^n}}\,で求まる. \\[.8zh] \bm{人数の推移を考慮}し,\ 1回ごとの確率を掛ければよい(\bm{各回の試行は独立}). \\[.2zh] 最後に,\ それぞれの推移パターンの確率(\bm{互いに排反})を足し合わせる. \\[1zh] (2)\ \ 2回目で勝者が決まるときの人数の推移パターンは以下の3通りである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 6通りの人数の推移(4→2,\ 2→1,\ 4→3,\ 3→1,\ 4→4,\ 4→1)の確率を求めればよい. 3人がじゃんけんをして,\ 勝者が1人になるまで繰り返す.\ 負けた人は次の回からは \\[.2zh] \hspace{.5zw}参加せず,\ あいこは1回と数えるものとする.\ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $n$回目で勝者が決まる確率を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $n$回目までに勝者が決まる確率を求めよ. \\ 3人}が1回じゃんけんして\textcolor{red}{1人が勝つ}確率は 人数の推移は\ 3→1,\ 3→2,\ 3→3,\ 2→1,\ 2→2\ がありえる. \\[.2zh] \scalebox{.99}[1]{$\bm{3人じゃんけんでは\ (1人が勝つ)=(2人が勝つ)=(あいこ)=\bunsuu13}\ となることは覚えておくとよい.$} \\\\ n回目で勝者が決まる人数の推移は以下の2パターンがあり,\ \bm{互いに排反}である. \\[1zh] 何回目で2人になるかは,\ \bm{1回目,\ \cdots,\ n-1回目のn-1通り}があるから,\ n-1倍する. \\[1zh] \phantom{(ii)}\ \ 上の解答では少し丁寧に記述した. \\[.2zh] \phantom{(ii)}\ \ \textcolor{cyan}{k回目に「\,3→2\,」}が起こるとすると,\ k-1回目までは「\,3→3\,」が起こる. \\[.2zh] \phantom{(ii)}\ \ さらに,\ k+1回目からn-1回目までは「\,2→2\,」が起こる. \\[.2zh] \phantom{(ii)}\ \ これは,\ (n-1)-(k+1)+1=\bm{n-k-1回}ある.\ +1がなければk+1回目も除かれる. \\n$回目まで3人のまま}である確率は n$回目までに2人になり,\ その後2人のまま}である確率は 求める確率は以下であり,\ これを$S$とする. \ \bm{余事象(n回じゃんけんしても1人にならない)の確率}を利用して求めるると簡潔に済む. \\[1zh] n回じゃんけんしても勝者が決まらない人数の推移は以下の2パターンがあり,\ \bm{互いに排反}である. \\何回目で2人になるにせよ確率は\left(\bunsuu13\right)^nである. \\[.8zh] \phantom{(ii)}\ \ 何回目で2人になるかは,\ \bm{1回目,\ \cdots,\ n回目のn通り}があるから,\ n倍する. \\\\ (1)を利用し,\ \bm{(1回目で決まる)+\cdots+(n回目で決まる)}としても求まるが大変である(別解). \\[.2zh] \bm{(等差)\times(等比)の和}となり,\ 数\text B:数列の知識が必要になる. \\[.2zh] この和は,\,\bm{S-rS法(公比を掛けたものをずらして引くと等比数列の和に帰着)}で求まるのであった. \\[.2zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r} \\[.8zh]
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