隣り合う・隣り合わない確率(和事象A∪Bの確率)

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a,\ b,\ c,\ d,\ e$の5文字を一列に並べるとき,\ 次の確率を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $a$と$b$が隣り合う確率 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $a$が$b$または$c$と隣り合う確率 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $a$と$b$が隣り合う,\ $a$と$c$が隣り合うのどちらか一方だけが起こる確率 \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $a,\ b,\ c$のうちどの2文字も隣り合わない確率 \\ 隣り合う・隣り合わない確率(和事象$\bm{A\cup B}$の確率)}}}} \\\\[.5zh]   $\bm{\textcolor{magenta}{事象A,\ Bが互いに排反でない}}$とき \\[1zh] 5ヶ所のうち$a$と$b$が並ぶ位置の組合せは$\kumiawase52$通りあり,\ これらは同様に確からしい.} \\[.5zh] $b$の並べ方は,\ $a$が端に並ぶとき1通り,\ $a$が端以外に並ぶとき2通りある}から \\[.5zh] \bm{隣り合うモノは一旦1つの箱に入れて並べ,\ その後その箱の中で並べ替える}のであった. \\[.2zh] \fbox{$ab$},\ c,\ d,\ eの並ベ方が4\kaizyou\,通り,\ a,\ bの並べ方が2\kaizyou\,通りである. \\[1zh] \bm{隣り合うか否かは相対的な位置関係の問題}なので,\ 位置だけに着目して求めることもできる(別解1). \\[.2zh] \maru1\maru2\maru3\maru4\maru5のうちaとbが並ぶ場所の組合せ(aとbの順序は考えない)は\,\kumiawase52\,通りある. \\[.2zh] (\maru1,\ \maru2)よりも(\maru2,\ \maru3)のほうが起こりやすいなどということはなく,\ \kumiawase52\,通りが対等である. \\[.2zh] \kumiawase52\,通りのうちaとbが隣り合うのは,\ (\maru1,\ \maru2),\ (\maru2,\ \maru3),\ (\maru3,\ \maru4),\ (\maru4,\ \maru5)の4通りである. \\[1zh] \bm{1文字ずつ段階的に考える}と別解2となる.\ 最初にa,\ 次にbを並べるとする. \\[.2zh] aの位置によってbの並べ方が変わるので排反な2つの場合(aが端か端以外か)に分ける. \\[.2zh] aが端に並ぶとき,\ aと隣り合うのは残り4ヶ所のうち1ヶ所だけである. \\[.2zh] aが端以外に並ぶとき,\ aと隣り合うのは残り4ヶ所のうち2ヶ所である.  (2)\ \ $a$と$b$が隣り合う確率,\ $a$と$c$が隣り合う確率はいずれも,\ (1)より\ $\bunsuu25$ \\\\ \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{$a$と$b$および$a$と$c$がいずれも隣り合う}確率は 5ヶ所から3ヶ所選んで$a$,\ $b$,\ $c$を並べる方法は$\zyunretu53$通りあり,\ これらは同様に確からしい.}} 事象A,\ Bが\bm{排反でない(共通部分をもつ)}とき,\ 以下が成り立つことはベン図から明らかであろう. \\[.2zh]  \bm{(AまたはBの確率)=(Aの確率)+(Bの確率)-(AかつBの確率)} \\[1zh] \bm{AまたはBの確率を求めるとき,\ 必ずAとBが排反か否かを考慮する.} \\[.2zh] \bm{「\,aとbが隣り合う」と「\,aとcが隣り合う」は排反ではない}ので,\ 重複分を引く必要がある. \\[.2zh] 共通部分は,\ \fbox{$abc$},\ d,\ eの並べ方が3\kaizyou\,通り,\ a,\ b,\ cの並べ方がbacとcabの2通りである. \\[1zh] aとbおよびaとcがいずれも隣り合う確率を求める部分の別解も示した. \\[.2zh] 本問では\bm{どのような並びで隣り合うか}が問われているので,\ 組合せではなく\bm{順列を全事象}にとった. \\[.2zh] \maru1\maru2\maru3\maru4\maru5のうちa,\,b,\,cの位置の組合せが(\maru1,\ \maru2,\ \maru3),\ (\maru2,\ \maru3,\ \maru4),\ (\maru3,\ \maru4,\ \maru5)の3通りある. \\[.2zh] そのいずれに対しても,\ 並べ方はbacとcabの2通りである. \\[1zh] a,\ b,\ cを順に並べる場合,\ \bm{最も条件の強いaから並べる}(別解2). \\[.2zh] aの位置は\maru2,\ \maru3,\ \maru4の3通り,\ bの位置はaの両隣の2通り,\ cの位置はbと対称の1通りである 問題文だけを見るとややこしそうに感じるが,\ ベン図を描けば何のことはない. \\[.2zh]  \betu\ \ \textcolor{cyan}{5ヶ所のうち$a$,\ $b$,\ $c$が並ぶ位置の組合せは$\kumiawase53$通りあり,\ これらは同様に確からしい. 「隣り合わない」を(全体)-(隣り合う)とするのは非推奨なのであった(場合の数で学習). \\[.2zh] 「\,2文字a,\ bが隣り合わない」の場合は,\ (全体)-(a,\ bが隣り合う)は正しい. \\[.2zh] しかし,\ 「\,3文字a,\ b,\ cが隣り合わない」の場合,\ (全体)-(a,\ b,\ cが全て隣り合う)は正しくない. \\[.2zh] 3文字のうち2文字だけが隣り合う場合もありえるからである. \\[.2zh] これらをすべて考慮するのは大変面倒で,\ 4文字以上ともなるともはやお手上げである. \\[.2zh] 結局,\ \bm{「隣り合わないモノを先に並べた後,\ 残りのモノを間に並べる」}が有効なのであった. \\[1zh] a,\ b,\ cを並べる方法が3\kaizyou\,通り,\ その間の2ヶ所にd,\ eを並べる方法が2\kaizyou\,通りである(本解). \\[1zh] \bm{a,\ b,\ cの位置のみに着目}すると,\ \maru1\maru2\maru3\maru4\maru5のうち(\maru1,\ \maru3,\ \maru5)の1通りである(別解1). \\[1zh] aの位置は\maru1,\ \maru3,\ \maru5の3通り,\ bはその残りの2通り,\ cはさらにその残りの1通りである(別解2). \\[1zh] \bm{余事象を利用}する別解も示した.\ 普段の演習では様々な解法を実戦しておくおくことが望ましい. \\[.2zh] 確率では答えに自信が持てないことも多いが,\ \bm{複数の求め方を習得していると検算が可能になる.} \\[.2zh] 本問に限って言えば,\ \bm{対称性があるのに加えてベン図中央の重なりがない}ので楽である. \\[.5zh]  \bm{P(A\cup B\cup C)} \\[.2zh]   \bm{=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C)} \\[1zh] 求める確率は \bm{P(\kyouyaku{A\cup B\cup C})=P(U)-P(A\cup B\cup C)=1-P(A\cup B\cup C)}
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