男子4人と女子2人を円形に並べるとき,\ 女子2人が隣り合う確率を求めよ.
(2)\ \ 赤玉2個と青玉2個を円形に並べるとき,\ 同じ色の玉が隣り合わない確率を求めよ. \\
6人の円順列の総数は$(6-1)!$通りあり,\ これらは同様に確からしい.
女子1人を固定する.}もう1人の女子の席は5通りあり,\ これらは同様に確からしい}から $25}$ \\
6個の異なる席のうち女子2人が並ぶ席は$C62$通りあり,\ これらは同様に確からしい.} \6人と6個の異なる席との対応は$6!$通りあり,\ これらは同様に確からしい.}
例によって,\ 何を全事象にとるかで複数の方法が考えられる.
場合の数分野で学習した円順列の総数の求め方を用いる本解が標準解法である.
\dot{異}\dot{な}\dot{る}\,n個のものの円順列の総数は(n-1)!\,通りである.
1つのモノを固定して考えると,\ 残りのn-1個のモノの順列に帰着するのであった.
左下の並び方よりも右下の並び方が起こりやすいなどということはなく,\ (n-1)!\,通りが対等である.
分子は,\ 隣り合う2人の女子を1まとめにして考えると,\ 異なる5つのモノの円順列となる.
これが(5-1)!\,通りあり,\ 女子2人の並べ方が2!\,通りである.
円順列の総数(n-1)!\,通りは,\ 席を区別していない(席に番号がついていない)}ことに注意する.
回転して一致する並べ方を同一視するということは,\ 席を区別しないということなのである.
実際,\ 席に1\,～\,6の番号がついていたとすると,\ 円順列として等しいはずの以下の2つが別物となる. \\
この席を区別しないという考え方は,\ すべてを区別するという確率の原則には反している.
しかし,\ 円順列の確率では,\ 席を区別しないほうが場合の数と同じ考え方となってわかりやすい.}
隣り合うか否かは2人の相対的な位置関係の条件}なので,\,これのみに着目すると簡潔に済む(別解1).
元々,\ 円順列では1つのモノを固定して考えているのであった.
そこで,\ 女子1人を固定し,\ この女子に対するもう1人の女子の相対的な位置を全事象にとる.
もう1人の女子が残りの席のうち特別にどこかに並びやすいということはなく,\ 5通りが対等である.
隣り合うためには,\ もう1人の女子が1人目の女子の両隣のうちのいずれかに並べばよい(2通り).
この考え方を難しく感じるならば,\ 以下のような順で並べたととらえるとよい.
6個の席に番号をつけて,\ 女子1人目\,→\,女子2人目\,→\,男子の順で並べる.
女子1人目はどこでもよいから\,66=1,\ 女子2人目は1人目の両隣に並べるから\,25\,である.
さらに,\ 男子4人はどこでもよいから\,4!}{4!}=1であり,\ 結局1×25×1=25}\,となる.
どこでもよければ確率は1なので,\ 結局女子2人目が隣り合うように並ぶ確率で全体の確率が決まる.
別解2は,\ 6個の席を区別して,\ 女子2人の並ぶ位置だけに着目する(順序を考えない)}ものである.
女子2人が(1,\ 2)よりも(1,\ 3)に並びやすいなどということはなく,\ C62\,通りが対等である.
このうち2人が隣り合うのは,\ (1,\ 2),\ (2,\ 3),\ (3,\ 4),\ (4,\ 5),\ (5,\ 6),\ (6,\ 1)の6通りである.
別解3は,\ 6個の席を区別して,\ 6人全員を並べる}という確率の原則に従うものである.
場合の数と考え方が異なるためにわかりづらい上,\ 計算が面倒になるので非推奨である.
女子1人目は6通り,\ 女子2人目は1人目の両隣の2通り,\ 後は男子4人の並びが4!\,通りである.
異なる4個の玉の円順列の総数は$(4-1)!$通りあり,\ これらは同様に確からしい.}
赤玉を1つ固定する.もう1つの赤玉の位置は3通りあり,\ これらは同様に確からしい}から 異なる4個の位置のうち赤玉2個が並ぶ位置は$C42$通りあり,\ これらは同様に確からしい.
異なる4個の玉と異なる4個の位置との対応は$4!$通りあり,\ これらは同様に確からしい. \\[
本問は,\ 同じモノを含む円順列の確率である.
同じモノを区別せずに考えると,\ 本問の円順列の総数は以下の2通りのみである.
だからといって安易に\,12\,と答えてはならないのは,\ 「確率の超基本」の項で述べたとおりである.
2通りが同様に確からしいか否かを吟味しなければならない.
しかし,\ 「確率の極意」の項で述べたように,\ 同じモノを含む場合のこの判断は大変難しい.
念のため,\ 同じモノでも区別して考える.}\ 区別すると(4-1)!=6通りあり,\ 書き出すと以下となる.
円順列なので位置は区別していないことに注意する. \
隣り合わない場合は2通り,\ 隣り合う場合は4通りで,\ 先程の2通りは同様に確からしくない.
以上を踏まえると,\ 本問では同じ色の玉でも区別して考えざるを得ない.}
場合の数分野で学習したように,\ 同じモノを含む円順列の総数を求めるのは中々に厄介であった.
その意味では,\ 同じモノを含むならば,\ 区別して考えればよい確率のほうがむしろ簡単である.
しかも本問の場合,\ 「同じ色の玉が隣り合わない」は「赤玉が隣り合わない」と言い換えられる.}
区別して考えるのであれば,\ (1)とほとんど変わらない.\ \ (1)と同様の4通りの解法を示しておく.
本解が標準解法である.
赤_1\,を固定して考える.\ 同じ色の玉が隣り合わないとき,\ 赤_2\,の位置は赤_1\,の向かい側の1通りである.
残りの青玉2個の並べ方は2!\,通りである.
同じ色の玉が隣り合わないとき,\ 2個の赤玉の位置は(1,\ 3),\ (2,\ 4)の2通りである(別解2).
赤_1\,の並べ方は4通り,\ 赤_2\,の並べ方は1通り,\ 残りの青玉2個の並べ方は2!\,通りである(別解3).
