事象の独立と従属 P(A∩B)=P(A)P(B)

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サイコロを1回振る.\ 事象Aと事象Bが互いに独立か従属かを調べよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $A:「\,3の倍数の目が出る」, B:「\,4以上の目が出る」$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $A:「\,2の倍数の目が出る」, B:「\,4以上の目が出る」$ \\ 事象の独立(上級者用)}}}} \\\\[.5zh]  すでに「試行の独立」について学習済みである. \\[.2zh]  例えば,\ サイコロを2回振るとき,\ 1回目と2回目の試行は明らかに独立である. \\[.2zh]  この場合,\ $A:$「\,1回目に3の倍数が出る」,\ $B:$「\,2回目に4以上の目が出る」とするとき, \\[.2zh]  $P(A\cap B)=P(A)P(B)=\bunsuu13\cdot\bunsuu12=\bunsuu{1}{6}$と求められるのであった(独立試行の乗法定理). \\\\  実は,\ 独立には「試行の独立」と「事象の独立」があり,\ 数Aでは「試行の独立」のみ学ぶ. \\[.2zh]  「試行の独立」は常識で判断できるが,\ 「事象の独立」の判断は厄介だからである. \\[.2zh]  思わぬ失点を避けるため,\ 上級者は「事象の独立」も理解しておくことが望ましい. \\\\  2つの試行$S,\ T$が独立ならば,\ 当然$S$で起こる事象$A$と$T$で起こる事象$B$も独立である. \\[.2zh]  本項で考えるのは,\ \textbf{\textcolor{purple}{1つの試行における事象$\bm{A}$と事象$\bm{B}$が独立か否か}}である. \\\\\\  \scalebox{.95}[1]{2つの事象$A,\ B$について$\bm{\textcolor{red}{P_A(B)=P(B)}}$が成り立つとき,\ \textbf{\textcolor{blue}{事象$\bm{A,\ B}$は独立である}}という.} \\[.2zh]  確率の乗法定理$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$より,\ $\bm{\textcolor{red}{P(A\cap B)=P(A)P(B)}}$と同値である. \\[1zh]  $P_A(B)=P(B)が成り立たないとき,\ \bm{\textcolor{blue}{事象A,\ Bは従属である}}という.$ \\\\  具体的な問題でその意味合いを理解しよう. \\\\\\ P(A\cap B)=P(A)P(B)}$ \\\\ \centerline{$\therefore \bm{事象Aと事象Bは独立である.}$} \\\\[1zh] \centerline{$\therefore \bm{事象Aと事象Bは従属である.}$} \\\\\\ 独立か従属かの判断方法は,\ \bm{「P(A\cap B)=P(A)P(B)が成り立つかを調べる」}ことである. \\[.2zh] P_A(B)=P(B)でもよいが,\ P(A\cap B)=P(A)P(B)のほうが汎用性が高い. \\[.2zh] つまり,\ \bm{P(A\cap B)とP(A)P(B)を別々に求めて,\ 一致するか否かを調べる}ことになる. \\[1zh] 数\text Aの問題を解く場合でも注意すべきは,\ P(A\cap B)=P(A)P(B)\ \cdots\,\maru1の利用についてである. \\[.2zh] \bm{P(A\cap B)とP(A)P(B)を求めてみて初めて,\ \maru1が成り立つか否かがわかる.} \\[.2zh] 故に,\,\bm{1つの試行の2つの事象A,\,BについてP(A\cap B)を求めるとき,\ 原則\maru1を使うべきでない.} \\[1zh] 例えば,\ 「(1)の事象A,\ BについてP(A\cap B)を求めよ」という問題が出題されたとしよう. \\[.2zh] このとき,\ P(A\cap B)=P(A)P(B)=\bunsuu13\cdot\bunsuu12=\bunsuu16\,と解答するのは\bm{非常に危険}である. \\[.8zh] 答えはたまたま合うが,\ 記述試験では正答とは認められない可能性が高い. \\[.2zh] 仮に(2)の事象A,\ Bについて同様の方法でP(A\cap B)を求めると,\ もはや答えも合わない. \\[1zh] (1)の事象A,\ Bは独立,\ (2)の事象A,\ Bは従属と判明したが,\ 直感的に納得できるだろうか. \\[.2zh] サイコロを1回振って4以上の目が出る確率は,\ 当然P(B)=\bunsuu12\,である. \\[.8zh] 「\,3の倍数の目が出る」という条件付きで4以上の目が出る確率P_A(B)を考える. \\[.2zh] 3の倍数の目は2通り,\ その中で4以上の目は1通りあるから,\ P_A(B)=\bunsuu12\,である. \\[.8zh] このように,\ \bm{4以上の目が出る確率は,\ 条件「\,3の倍数の目が出る」の有無によらず等しくなる.} \\[.2zh] これは,\ 2つの事象「\,3の倍数の目が出る」と「\,4以上の目が出る」が\bm{独立}であることを意味する. \\[1zh] 一方,\ 「\,2の倍数の目が出る」という条件付きで4以上の目が出る確率は,\ P_A(B)=\bunsuu23\,である. \\[.5zh] これは,\ 4以上の目が出る確率P(B)=\bunsuu12\,と一致しない. \\[.8zh] 条件「\,2の倍数の目が出る」の有無で4以上の目が出る確率が変わるから,\ 2つの事象は従属である. \\\\ \bm{要素数の比を面積の比で表した図}を書くと視覚的に理解できる. \\\\ (1)は完全に\bm{「田」}になるので,\ P(B)=\bunsuu{n(B)}{n(U)}\,とP_A(B)=\bunsuu{n(A\cap B)}{n(A)}\,が一致する. \\[1zh] \bm{事象Aが起こるか否かが事象Bの確率に影響を与えない}から,\ 事象Aと事象Bは\bm{独立}である. \\[1zh] 一方,\ (2)は「田」にならないので,\ P(B)\neqq P_A(B)となる. 2つの事象$A,\ B$が独立であるとする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $A$と$\kyouyaku B$も独立であることを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $\kyouyaku A$と$\kyouyaku B$も独立であることを示せ. \\ P(A\cap B)=P(A)P(B)}$が成り立つとき,\ $\textcolor{red}{P(A\cap\kyouyaku B)=P(A)P(\kyouyaku B)}$も成り立つことを示す.}=P(A)\{1-P(B)\} (1)\ \ P(A\cap\kyouyaku B)=P(A)-P(A\cap B)\ はベン図で考えるとよい.\ 最後,\ P(B)+P(\kyouyaku B)=1を利用する. \\[1zh] (2)\ \ ド・モルガンの法則 \kyouyaku A\cap \kyouyaku B=\kyouyaku{A\cup B} \\\\ 確率の性質に関する抽象的な問題では,\ 文字で設定してより具体的に考える方法も有効である. \\[1zh] 1回投げて表が出る確率が$p\ (0
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高校数学A 確率
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