事象の独立と従属

サイコロを1回振る.\ 事象Aと事象Bが互いに独立か従属かを調べよ.  $A:「2の倍数が出る」, B:「3以上の目が出る」$  $A:「3の倍数が出る」, B:「3以上の目が出る」$ P(A B)=P(A)P(B)\ が成り立つ.$  このとき,\ $事象Aと事象Bは{独立であるという.$  ${P(A B)=P(A)P(B)\ が成り立たない.$  このとき,\ $事象Aと事象Bは{従属であるという.$事象Aと事象Bは独立である.}$}事象Aと事象Bは従属である.}$} 独立には,\ {「試行の独立」と「事象の独立」}がある. 「試行の独立」は,\ 常識的感覚で容易に判断できる. 例えば,\ サイコロを2回振るとき,\ 1回目と2回目の試行は明らかに独立である. 1回目に1が出たからといって,\ 2回目に1が出にくくなるということはない. A:「1回目に1が出る」,\ B:「2回目に1が出る」とする. と求めることが許される. 独立でない場合,\ を計算するのであった. 一方,\ {「事象の独立」が容易に判断できない}ことは本問からもわかる. その判断方法は,\ {「P(A B)=P(A)P(B)\ を示す」}ことである. これが示されて初めて,\ 事象Aと事象Bが独立であるといえる. すなわち,\ {P(A B)とP(A)P(B)を別々に求めて,\ 一致していることを示す.} 確率を計算してみて初めて,\ 独立か従属かがようやくわかるのである. よって,\ {独立を示す前に\ P(A B)=P(A)P(B)\ を適用してはいけない.} 一例を示す.\ の事象Aと事象Bに対して,\ P(A B)を求めるとする. このとき,\ と解答するのは{誤り}である. 結果はたまたま一致するが,\ 解答として認められない. P(A B)は,\ P(A)P(B)を使わずに求めなければならない. 結果から独立がわかるのであり,\ それまでは独立が自明ではないからである. 仮にで同じことをやると,\ もはや結果も一致しない. が独立でが従属であると判明したが,\ 直感的に納得できるだろうか. サイコロを1回投げて2の倍数が出る確率は当然\ 12\ である. 「3以上の目が出る」という条件付きで2の倍数が出る確率を考える. 3以上の目は4通り,\ その中で2の倍数は2通りあるから,\ 24=12\ である. 2の倍数が出る確率は,\ 条件「3以上の目が出る」のあるなしによらず等しくなる. これは,\ 「2の倍数が出る」と「3以上の目が出る」が独立であることを意味する. 一方,\ 「3以上の目が出る」という条件付きで3の倍数が出る確率は\ 12\ である. これは,\ 3の倍数が出る確率\ 13\ と一致しない. 「3以上の目が出る」という条件次第で確率が変わるから,\ 従属関係といえる.
タイトルとURLをコピーしました