n$を自然数とする.\ \ 1つのサイコロを$n$回振るとき,\ 出る目の積をXとする.
(1)\ \ Xが素数となる確率を求めよ.
(2)\ \ Xが6となる確率を求めよ.
(3)\ \ Xが12となる確率を求めよ.サイコロの出る目の積の確率 \\
(1)\ \ 2または3または5の目が1回},\ 1の目が$n-1$回}が出ればよい.
3か5の目が1回出る確率も同じなので1の目が$n-1$回}出る確率は 2と3の目がそれぞれ1回ずつ},\ 1の目が$n-2$回}出る確率は \互いに排反であるから,\ $X=6$となる確率は
n=1}のときも成り立つ){2と6の目がそれぞれ1回ずつ},{1の目が$n-2$回}出る確率は\ \ $n(n-3と4の目がそれぞれ1回ずつ}1の目が$n-2$回}出る確率は\2の目が2回,\ 3の目が1回1の目が$n-3$回}出る確率は
は互いに排反であるから,\ $X=12$となる確率は
(1)\ \ 出る目の積が素数となるのは,\ 出る目の1つが素数で残りの出る目がすべて1の場合}である.
\ \ 1は素数(正の約数が1と自分自身の2個である自然数)ではない.
\ \ 反復試行の確率}であり,\ n回のうち何回目に2,\ 3,\ 5の目が出るかは\,C n1\,通りある.
\ \ 一般に,\ 確率pの事象Aがr回,\ 確率qの事象Bがn-r回起こる確率は C nrp^rq^{n-r}
(2)\ \ 2パターン考えられる.\ \ [2]の方は少なくとも2回振る必要があるから,\ n≧2として考える.
\ \ n回のうちの2の目と3の目の出方は,\ ○△\underbrace{××･･･×}_{n-2個}\ の並べ方に等しい.
\ \ 異なるモノが3つ以上ある場合,\ C nr\,ではなく同じモノを含む順列}の扱いで求めるとよい.
\ \ n=1のとき,\ X=6となる確率は当然\,16\,である.
\ \ n^2-.2zw}16^nに試しにn=1を代入してみると\,16\,となり,\ 実際の確率と一致する.
(3)\ \ 3パターン考えられ,\ [1]と[2]は(2)の[2]と同様なのでその結果を利用した.
\ \ n=1のとき,\ X=12となる確率は当然0である.
\ \ n=2のとき,\ X=12となる確率は\,4}{36}=19\,である. (2,\ 6),\ (6,\ 2),\ (3,\ 4),\ (4,\ 3)
\ \ 最後,\ 和は因数分解する方向で整理する.
n$を自然数とする.\ \ 1つのサイコロを$n$回振るとき,\ 出る目の積をXとする.
(1)\ \ Xが偶数となる確率を求めよ.
(2)\ \ Xが3の倍数となる確率を求めよ.
(3)\ \ Xが4の倍数となる確率を求めよ.
(4)\ \ Xが6の倍数となる確率を求めよ.
(5)\ \ Xが12の倍数となる確率を求めよ. \\
{二項定理(数II)を利用
(1)\ \ Xが偶数(2の倍数)を言い換えると,\ 「\,n回のうち少なくとも1回偶数の目が出る」}となる.
\ \ 「積がある数の倍数」には「少なくとも～」が隠れているため,\ 余事象の利用}が有効である.
\ \ つまり,\ 1-(\,n回すべて奇数の目が出る)}として求められる.
(2)\ \ 1-(\,n回すべて3の倍数でない目が出る)}として求める.
\ \ 本項の問題は直接的に求めることも可能だが,\ 二項定理の知識を要する(別解).\ \ (2)のみ示す.
\ \ 3の倍数の目が何回出るかで場合分けすると排反になる.}
\ \ 3または6の目がちょうど1回出るとき 3または6の目がちょうど2回出るとき 3または6の目がちょうどn-1回出るとき 3または6の目がちょうどn回出るとき
\ \ これらは次の二項展開によって現れる式であり,\ 和は逆方向に変形してまとめる}ことができる. (a+b)^n=C n0a^n+C n1a^{n-1}b+C n2a^{n-2}b^2+･･･+C{n}{n-1}ab^{n-1}+C nnb^n
を無理矢理作る}必要がある.\ なお,\ C n0=C nn=1である.
$n$回すべて奇数の目}が出る確率は2または6の目が1回},\ 奇数の目が$n-1$回}出る確率は \\
4の倍数とならないのは,\ [1],\ [2]の2つの場合である.
これらは互いに排反}であるから,\ その和を1から引けばよい.
(4)\ \ $A:「少なくとも1回2,\ 4,\ 6が出る(Xが偶数)」}$
$B:「少なくとも1回3,\ 6が出る(Xが3の倍数)」}$
倍数条件は,\ 互いに素な(最大公約数が1である)整数の倍数条件に分割できる.}
つまり,\ 「\,6の倍数」は「\,2の倍数かつ3の倍数」と分割でき,\ さらに以下のように言い換えられる.
「少なくとも1回偶数の目が出る(A)」}\ かつ}\ 「少なくとも1回3の倍数の目が出る(B)」}
つまり,\ 本問は,\ 「少なくとも～」かつ「少なくとも～」の確率}であり,\ やはり余事象を利用}する.
二重の「少なくとも～」は一見複雑だが,\ 集合の観点でとらえるとほぼ機械的に処理できる.}
A∩ Bの余事象は,\ 「偶数が1回も出ない(A})」\ または}\ 「\,3の倍数が1回も出ない(B})」}\ である.
つまり,\ 「\,n回とも1か3か5の目が出る」または「\,n回とも1か2か4か5の目が出る」}である.
このとき,\ A\,と\, B\,が排反ではない}ことに注意すべきで,\ 足した後で重複分を引く}必要がある.
結局,\ A∪ B=(\,n回とも1か3か5)+(\,n回とも1か2か4か5)-(\,n回とも1か5)となる.
この確率を1から引いたものが求める確率P(A∩ B)である.
実際には,\ 集合の記号を用いて数式で機械的に処理していく}のが理想である.
ド・モルガンの法則}より \overline{A∩ B}=\overline{A}∪\overline{B
ベン図}でとらえる場合,\ 周りの部分が求めるA∩ Bであると考える}とわかりやすい.
なお,\ P(A∩ B)=P(A)･ P(B)は一般には成り立たない}のであった(参照:事象の独立と従属).
よって,\ 偶数かつ3の倍数となる確率を,\ (1)と(2)の結果を用いて以下のように求めてはならない. \\ 計算結果は正答と一致するがたまたまであり,\ 正答の扱いとすることはできない.
実際,\ (5)を(2)と(3)を利用して同様に求めた場合,\ もはや計算結果と正答が一致しない.
{A:「\,Xが4の倍数」}$ $B:「\,Xが3の倍数」}$n$回とも1か5が出る}」または
12=2^2･3より,\ 「\,4の倍数かつ3の倍数」と分割することができる.
2と6は互いに素ではないから,\ 2の倍数かつ6の倍数と分割してはならない.
実際,\ 6は2の倍数かつ6の倍数だが,\ 12の倍数ではない.
P( A),\ P( B)は(4)までに一度求めているから,\ 後はP( A∩ B)が求められるかが問われる.
まず,\ B\,となるためには,\ n回とも1か2か4か5の目が出なければならない.}
さらに,\ A\,となるためには,\ 4の目が出てはならず,\ かつ2の目が出るのが1回以下であればよい.}
結局,\ 解答のような2つの場合がありえるわけである. \\[.2z
