互いに素であることの証明、互いに素な自然数の性質

2数が1より大きい公約数g}をもつと仮定して矛盾を導く}(背理法}).}2数の最大公約数をg}として,\ 直接g=1を示す.nとn+1が公約数g\をもつと仮定}する { }\ $2式からnを消去して整理すると \b-aは整数であるから,\ g=1\ であり,\ 矛盾}する.$n,\ n+1は互いに素}である.$}  $$\ $nとn+1の最大公約数をg}とする.$ { }\ このとき,\ $n=ga,n+1=gb(a,\ b:互いに素な整数)}とおける.$ { }\ $2式からnを消去して整理すると  $ 最大公約数\ g=1}\ となるから,\ {n,\ n+1は互いに素}である. 「互いに素」の示し方は,\ 背理法による間接証明と直接証明がある. {「1以外に公約数をもたない」と否定的表現}でとらえると,\ 背理法が有効である. }\ 「m,\ nが公約数gをもつ」は{「m=ga,\ n=gb(a,\ b:整数)」}に変換できる. \ 最大}公約数gではないから,\ {a,\ bは互いに素とは限らない}ことに注意する. \ 後は,\ {問題で与えられた文字を消去}する方向で変形する. \ さらに,\ {共通因数をもつものをまとめ,\ 両辺が積の形になるように変形する.} \ このように整数分野の基本的発想に従っていくと矛盾が生じる. }\ 最大公約数をgとおく場合は,\ a,\ bが互いに素な整数となる. \ 同様の発想で変形し,\ さらに{a,\ bの大小関係を考慮}する. \ すると,\ 直接的に最大公約数\ g=1\ が示される. 「連続する2整数が互いに素」という事実は思いの外よく利用する. 記述試験で連続2整数が互いに素であることを自明としてよいかは微妙である. 大した記述量でもないので,\ 簡潔にでも証明を書いてリスクを避けるとよい. 一般的ではあるが,\ 実は次の手法のほうが汎用性が高い.  「互いに素」を「素数の公約数をもたない}」ととらえる}わけである.  $[3]$${2数が素数の公約数p}をもつと仮定して矛盾を導く}(背理法}).2つの自然数m,\ nが互いに素であるとき,\ nとm-nも互いに素となる$ nとm-nが素数の公約数pをもつと仮定}する. n=pa,m-n=pb(a,\ b:整数)}\ とおける.$ { }\ $2式からnを消去して整理すると m=p(b+a)}$ { }\ $よって,\ mとnは素数の公約数pをもつ.}$ { }\ $これは,\ m,\ nが互いに素であることと矛盾}する.$ $ {nとm-nは互いに素}である. 前問と同様の方法でも証明できるが,\ [3]の方法で示す. 素数の公約数の存在を仮定する以外は前問と同じである. m=p(b+a)より,\ {mは素数pを約数にもつ.} n=paより,\ {nも素数pを約数にもつ.}\ ここに矛盾が生じるわけである. 2つの自然数m,\ nに対し,\ 次が成立することを示せ.$  $「m,\ nが互いに素」ならば「m+nとmnが互いに素」$  $「m+nとmnが互いに素」ならば「m,\ nは互いに素」$ m+nとmnが素数の公約数pをもつと仮定}する. { }\ $よって,\ mまたはnは,\ pの倍数}である.$ { }\ $mがpの倍数のとき,\ m=pk\ (k:整数)}\ とおける. { }\ $a-kは整数であるから,\ nもpの倍数である.$ { }\ $これは,\ m,\ nが互いに素であることと矛盾}する.$ { }\ $nがpの倍数のとき,\ 同様にしてmもpの倍数となり,\ 矛盾する.m+nとmnは互いに素}である.mとnが素数の公約数をpをもつと仮定}とする.$ { }\ このとき,\ $m=pa,n=pb(a,\ b:整数)}とおける.$ { }\ $よって m+n=pa+pb=p(a+b), mn=pa pb=p²ab}$ { }\ $ゆえに,\ m+nとmnは素数pを公約数にもつ.$ { }\ $これは,\ m+n,\ mnが互いに素であることと矛盾}する.$ 前問は素数の公約数である必然性はなかったが,\ 本問は素数条件が役立つ. mn=pbより,\ mnは素数pの倍数であるから,\ 次が利用できる. {「mnが素数pの倍数」ならば「mがpの倍数またはnがpの倍数」} これはpが素数であるからこそ成り立つ関係であることに注意して欲しい. mがpの倍数の場合とnがpの倍数の場合を分けて考える. {日本語「mがpの倍数」は,\ 数式「m=pk\ (k:整数)」に変換できる.} これを用いて{既存の文字mを消去し,\ 共通因数をくくる}とn=p(a-k)を得る. 結局,\ 素数pを公約数としてもつことになり,\ 矛盾することがわかる. nがpの倍数の場合も同様なので,\ 簡潔な記述で済ませてよい. また,\ は普通に計算するだけで容易に示せる.  以下にまとめた結果は記憶に値する.\ 特には非常に重要である.      ${「隣り合う2整数n,\ n+1は互いに素}」}  { *取り上げた問題では,\ は$$しか示していないが,\ 実は$$も成り立つ.}
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