整数$a,\ b$の最大公約数を$g$とする.\ 2点O$(0,\ 0),\ A(a,\ b)$を結ぶ線分上の格子点
\ \ の個数は両端を除いて$g-1$個であることを示せ.\ ただし,\ 0と自然数$n$の最大公
\ \ 約数を$n$と定める.
(2)\ \ 原点Oを含む3つの格子点を頂点にもつ$△$OABの辺OA,\ OBそれぞれの上に
\ \ 両端を除いて奇数個の格子点があるとき,\ 辺AB上にも両端を除いて奇数個の格子
\ \ 点があることを示せ.
(3)\ \ 辺OA,\ OB上に両端を除いてちょうど3個ずつ格子点が存在するとき,
\ \ $△$OABの面積$S$は8の倍数であることを示せ. \\
格子点を頂点とする三角形と平行四辺形の性質 \\
(1)\ \ 座標平面の対称性により,\ $a≧0,\ b≧0$としても一般性を失わない.
整数$0,\ b$の最大公約数は$g=b$である.
線分OA上の格子点は,\ 両端を除くと$(0,\ 1),\ ･･･,\ (0,\ b-1)$の$b-1$個}ある.
つまり,\ $b-1=g-1$個である.
[2]\ \ $b=0}$のとき [1]と同様に,\ 線分OA上の格子点の個数は$a-1=g-1$個である.
$a=ga’,\ b=gb’\ (a’,\ b’:互いに素な自然数)}$とおける.
線分OAの方程式は $y= bax=gb’}{ga’}x=b’}{a’}x\ \ (0≦ x≦ a)$
$a’,\ b’$が互いに素なので,\ $y$が整数となるのは$x=ka’\ (k:自然数)}$のときである.
線分OA上の格子点は,\ 両端を除くと
$(a’,\ b’),\ (2a’,\ 2b’),\ ･･･,\ ((g-1)a’,\ (g-1)b’)$の$g-1$個}ある線分OA上の格子点の個数は両端を除いて$g-1}$個である.
一端が原点の線分上の格子点の個数が他方の端点の最大公約数で決まる}ことの証明である.
a>0,\ b>0のとき,\ 0
