平方剰余とピタゴラス数a²+b²=c²の性質の証明(背理法)

最後から2問目でn≡2となっていますが、n≡±2の誤りですm(_ _)m

平方剰余(2乗の余り)3の倍数}   3の倍数} nは3の倍数でない}\ で割ると1余る数} 偶数}n²は4の倍数} nは奇数}n²は4で割ると1余る数} 5の倍数} nは5で割ると1か4余る数}で割ると1余る数} 5で割ると2か3余る数5で割ると4余る数} 4の倍数8の倍数} nは4で割ると2余る数}{8で割ると4余る数} nは奇数}8で割ると1余る数} ピタゴラス数の性質を調べる前に,\ 平方剰余についての基本知識を確認する. 平方剰余とは,\ 平方数\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,の余りである. nを3で割ったときの余りを考える.\ 当然,\ 0,\ 1,\ 2の3通りがあり得る. これをそれぞれ2乗すると,\ n²を3で割ったときの余り0,\ 1,\ 4になる. ここで,\ 余り4は余り1と等しい(4≡1\ mod}3)から,\ 結局0,\ 1の2通りになる. つまり,\ {3で割ったときの余りが2になる平方数は存在しない.} このように,\ {2乗すると余りの種類が減る}のである. 4,\ 5,\ 8を法としても同様であり,\ ピタゴラス数の性質の証明に利用できる. 3,\ 4を法とする平方剰余は,\ 暗記が推奨される. 特に,\ {4を法とする平方剰余が,\ 元の数の偶奇と対応する}ことは特筆に値する. nが4の倍数かはn²を\mod8で考えて始めて分かる. n²≡0od4でも,\ nが4の倍数とはいえないからである. a²+b²=c²\ を満たす自然数の組(a,\ b,\ c)を{ピタゴラス数という.$    ${ピタゴラス数の性質   以下,\ {a,\ b,\ cは互いに素}とする.$      a,\ bの一方は偶数,\ よって{cは奇数である.$      a,\ bの一方は3の倍数である.$      a,\ bの一方は4の倍数である.$      a,\ b,\ cの1つは5の倍数である. a²+b²=c²\ は,\ 言わずと知れた{三平方の定理(ピタゴラスの定理)}である. 要は,\ 三平方の定理を満たす自然数の組をピタゴラス数というのである. 最も有名なピタゴラス数{(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)}などは暗記必須である. これらは,\ {a,\ b,\ cが互いに素なピタゴラス数(原始ピタゴラス数)}である. 原始ピタゴラス数を整数倍して得られる(6,\ 8,\ 10)などもピタゴラス数である. このようなピタゴラス数は本質的ではないので,\ 原始ピタゴラス数の性質を探る. {ピタゴラス数の倍数に関する性質を背理法で証明する問題が頻出}である. ~から,\ {abが12の倍数,\ abcが60の倍数}などもわかる. a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ a²+b²=c²\ が成立している.$ $このとき,\ a,\ bの一方は3の倍数であることを示せ.$     $n²=(3k)²=3(3k²) より n²は3で割り切れる.}$  (ii)$n=3k1}\ (k:整数)のとき$     $よって,\ n²は3で割ると1余る.}$  $a,\ bともに3の倍数でないと仮定}する.$  $このとき,\ a²=3l+1,b²=3m+1}(l,\ m:自然数)\ とおける.$  $ここで a²+b²=(3l+1)+(3m+1)=3(l+m)+2}$  $よって,\ a²+b²を3で割った余りは2}である.$  $一方,\ c²を3で割った余りは0または1}である.$  $これは,\ a²+b²=c²であることに矛盾}する.$ $ {a,\ bの一方は3の倍数である.}$} a,\ bがともに3の倍数でないと仮定}  $これは,\ a²+b²=c²であることに矛盾}する.$ $ {a,\ bの一方は3の倍数である. あらかじめ,\ 平方数を3で割ったときの余り(平方剰余)について調べておく. { nは3の倍数   n²は3の倍数 nは3の倍数でないn²は3で割ると1余る数 }を示すわけである. n=3k1のときn²の余りが一致することを見越してまとめて記述した. まとめるのが難しいと思うならば,\ 別々に記述すればよい. また,\ n=3k,\ 3k+1,\ 3k+2\ と場合分けしてもよい. 本題を{背理法}で示す.\ {両辺の余りの不一致という矛盾を導く}ことが要点である. 「a,\ bの一方は3の倍数」を否定したときに矛盾が生じることを示せばよい. {「a,\ bの一方は}3の倍数」の否定は,\ 「a,\ bはともに}3の倍数でない}」}である. a,\ bが3の倍数でないとき,\ a²とb²の余りはどちらも1である. これを文字で設定し計算すると,\ {(左辺)=a²+b²\ の余りが2}であるとわかる. 一方,\ {(右辺)=c²\ の余りは0か1}である(平方数の余りは2になることはない). よって,\ {(余り2)=(余り0,\ 1)となり,\ 矛盾}することになるのである. 実質同じだが,\ 合同式を用いると簡潔な記述になる. a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ a²+b²=c²\ が成立している.$ $このとき,\ a,\ bの一方は偶数であることを示せ.$ a,\ bの一方は偶数である.}$} 実質的に前問と同じであるから,\ 合同式による解答のみ示す. 偶数(2の倍数)に関する性質の証明であるが,\ {od4で考える}必要がある. od2では2乗しても余りの種類が減らないから,\ 矛盾を導けないのである. nは偶数n²は4の倍数 nは奇数n²は4で割ると1余る数 が偶数,\ n≡1od4はnが奇数}を意味する. 以上から,\ a,\ bがともに奇数(偶数でない)と仮定すると,\ a²≡1,\ b²≡1とできる. {n²を4で割ったときの余りがnの偶奇と対応している}ことが役立つのである. {a,\ bの一方が偶数,\ 他方が奇数ならば,\ cは奇数}である. このことは,\ a,\ bの一方が4の倍数であることの証明に役立つ. a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ a²+b²=c²\ が成立している.$ $このとき,\ a,\ b,\ cの少なくとも1つは5の倍数であることを示せ.$ a,\ b,\ cがいずれも5の倍数でないと仮定}する.$ a,\ b,\ cの少なくとも1つは5の倍数である.}$} { $[l} 前問までとは異なり,\ {cも含めて少なくとも1つが5の倍数}であることを示す. a,\ b,\ cが5の倍数でない場合,\ a²,\ b²,\ c²を5で割ったときの余りは1か4である. よって,\ a²とb²の余りの組合せは4通り考えられる. 4通りの組合せの全てについてa²+b²の余りを求めると,\ 0,\ 2,\ 3の3種類となる. a,\ b,\ cは互いに素な自然数で,\ cは奇数である.$ $a²+b²=c²\ が成り立つとき,\ a,\ bの一方は4の倍数であることを示せ.$ a,\ bがともに4の倍数でないと仮定  $一方,\ cは奇数}であるから,\ c²≡1}\ od8\ である.$  $これは,\ a²+b²=c²であることに矛盾}する.$ $ {a,\ bの一方は4の倍数である. cが奇数であることがすでに示されていることを前提とする. 4の倍数に関する性質の証明であるが,\ {od8で考える}必要がある. n²をod4で考えると,\ nの偶奇に対応してしまうからである. まず,\ { nは4の倍数 n²は8の倍数 nは4で割ると2余る数 n²は8で割ると4余る数 nは奇数 n²は8で割ると1余る数 n≡0,\ 2,\ 4od8は,\ nが偶数であることを意味する. また,\ n≡0,\ 4od8は,\ nが4の倍数であることを意味する. さらに,\ {n≡1,\ 3od8は,\ nが奇数}であることを意味する. よって,\ cが奇数であることを考慮すると,\ c²≡1となるわけである.
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