自然数の分類と素因数分解の一意性

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自然数の分類}} {1}{素数}} & \bm{\textcolor{red}{約数が2個(1と自身)}}である数 \\合成数}} & \bm{\textcolor{red}{2個以上の素数の積}}で表される数 {素因数分解}}  自然数を\textbf{\textcolor{red}{素数の積}}で表すこと. 素因数分解の可能性と一意性(算術の基本定理)}} \\[.5zh]     $\bm{\textcolor{red}{合成数は,\ 積の順序を無視するとただ1通りに素因数分解できる.}}$ 算術の基本定理は自明ではなく,\ 本来は証明が必要な定理である. \\[.2zh] 証明は高校範囲ではあるが,\ いろんな意味で複雑であり,\ 大学受験では自明としてよい. \\[.2zh] ここでも証明は割愛する. \\[1zh] 1を素数から除外しているのは,\ 1を素数に含めると素因数分解の一意性がなくなるからである. \\[.2zh] $13500=5^l6^m15^n\ を満たす自然数l,\ m,\ nを求めよ. \bm{2通りに素因数分解できるとき,\ 素因数分解の一意性により指数部分を比較することができる.} \\[.2zh] l,\ m,\ nが整数とは限らないのであれば,\ 一意性はなくなり単純な指数部分の比較ができなくなる. \\[.2zh] 例えば,\ 2^3\cdot3^2=2^m\cdot3^n\,に対し,\ 以下のような無数の解が存在する(数\text{I\hspace{-.1em}I}). \\[.2zh]  (m,\ n)=(3,\ 2),\ (3+\log_23,\ 1),\ (2,\ 2+\log_32)など. (\log_23や\log_32は無理数) \\[1zh] 素因数分解するとき,\ 中学生のように筆算で1個ずつ割っていく高校生が少なくないが非効率である. \\[.2zh] 分離しやすいものをまとめて分離する.\ 頻出の累乗の値(3^3=27など)を暗記していると強い. 一般に,\ (ab)^n=a^nb^n,\ \ a^m\cdot a^n=a^{m+n}\ (a,\ b,\ m,\ n:自然数)が成り立つ. \\[.2zh] a^n\,がaをn個掛けたものという認識があれば自明である. が自然数になるような自然数$n$を求めよ. \bm{根号の中身が平方数(自然数の2乗)になるような自然数nを求めればよい.} \\[.2zh] 360の素因数分解により,\ 2^2\,や3^2\,が残るようなnであればよいことがわかる. \\[.2zh] それ以外に,\ \bm{根号の中身が1になる場合を忘れやすい}ので注意する. bunsuu{n^2}{250},\ \ \bunsuu{n^3}{256},\ \ \bunsuu{n^4}{243}\ が全て整数となるような正の整数nのうち,\ 最小のものを求めよ.$ \\ \bm{各分数の分母を素因数分解すると,\ 各分数が整数になるためにnに最低限必要な条件がわかる.} \\[1zh] \maru1\ \ 250=2\cdot5^3\,より,\ n^2\,が2を1個以上かつ5を3個以上もっていれば整数になる. \\[.2zh]  \ \ つまり,\ nは少なくとも2を1個,\ 5を2個もっていなければならない. \\[1zh] \maru2\ \ 256=2^8\,より,\ n^3\,が2を8個以上もっていれば整数になる. \\[.2zh]  \ \ つまり,\ nは少なくとも2を3個もっていなければならない. \\[1zh] \maru3\ \ 243=3^5\,より,\ n^4\,が3を5個以上もっていれば整数になる. \\[.2zh]  \ \ つまり,\ nは少なくとも3を2個もっていなければならない. \\[1zh] 素因数2,\ 3,\ 5のそれぞれについて最低限必要な個数を掛けたものが最小のnである.

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