2進法・3進法と分銅問題

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1\,g,\ 2\,g,\ $2^2$g,\ $2^3$g,\ $2^4$g,\ $2^5$g\,のおもりが1個ずつと天秤ばかりがある. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ この天秤ばかりで52\,g\,のものをはかる方法を示せ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 1\,g,\ 3\,g,\ $3^2$g,\ $3^3$g,\ $3^4$g,\ $3^5$g\,のおもりが1個ずつと天秤ばかりがある. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ この天秤ばかりで208\,g\,のものをはかる方法を示せ. \\ 2進法・3進法と分銅問題}}}} \\\\  (1)\ \ $52=32+16+4=\textcolor{red}{1\cdot2^5+1\cdot2^4+1\cdot2^2}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $\therefore$ \textbf{一方の皿に52\,gのものをのせ,\ 他方の皿に$\bm{2^5}$g,\ $\bm{2^4}$g,\ $\bm{2^2}$gのおもりをのせる. 要するに,\ \bm{52を1,\ 2,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ 2^5\,の和で表せる}かが問われている. \\[.2zh] これは,\ \bm{52を2進数に変換する}ことに相当する. \\[.2zh] このように直接的に和に変換してもよいし,\ 筆算で\bm{110100_{(2)}}\,を求めてから和で表してもよい. \\[1zh] 本問の背景に少し踏み込んでおく. \\[.2zh] 2進法において,\ 6桁の最大の自然数は111111_{(2)}=63_{(10)}\,である. \\[.2zh] 10進法の1から63までのすべての自然数は,\ 2進法の1_{(2)}\,~\,111111_{(2)}\,と1対1で対応する. \\[.2zh] つまり,\ \bm{6個のおもりで,\ 1\,\textbf{g}から63\,\textbf{g}までを1\,\textbf{g}刻みで,\ それぞれただ1通りのはかり方ができる.} \\[1zh] 1個のおもりには,\ のせる(1)かのせない(0)かの2通りがある. \\[.2zh] よって,\ 2進法で考えるのが有効というわけである. \phantom{ (1)}\ \    $\therefore$ \textbf{一方の皿に208\,gのものと$\bm{3^2}$g,\ $\bm{3^3}$gのおもりをのせ,} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \    \phantom{$\therefore$} \ \,\textbf{他方の皿に$\bm{3^5}$g,\ $\bm{1}$gのおもりをのせる.} \phantom{ (1)}\ \ よって $\textcolor{red}{208+3^3+3^2=3^5+1}$ \\\\ \phantom{ (1)}\ \    $\therefore$ \textbf{一方の皿に208\,gのものと$\bm{3^2}$g,\ $\bm{3^3}$gのおもりをのせ,} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \    \phantom{$\therefore$} \ \,\textbf{他方の皿に$\bm{3^5}$g,\ $\bm{1}$gのおもりをのせる. 2個ずつあるならば,\ 一方の皿に3^4\text{g}\,2個,\ 3^3\text{g}\,1個,\ 3^2\text{g}\,2個,\ 1\text{g}\,1個のおもりをのせればよい. \\[.2zh] 実は,\ \bm{おもりが1個ずつであっても,\ 両方の皿にのせることを許せば,\ はかることができる.} \\[1zh] 各皿にどのようにのせるべきかを求めるために,\ 208_{(10)}=21201_{(3)}\,を式変形していく. \\[.2zh] とにかく,\ 右辺に2があるとおもりが2個必要なことになってしまう. \\[.2zh] 6個のおもりの質量を3進法で表すとそれぞれ1,\ 10,\ 100,\ 1000,\ 10000,\ 100000である. \\[.2zh] \bm{これらを両辺に適切に加えることで,\ すべての位が0と1のみからなる3進数に変換できる.} \\[.2zh] 2_{(3)}+1_{(3)}=10_{(3)}\,を利用するのである. \\[.2zh] 21201_{(3)}\,は,\ 100_{(3)}\,を足すことで3^2\,の位を0にできる(22001_{(3)}\,になる). \\[.2zh] さらに,\ 1000_{(3)}\,を足すことにより,\ すべての位が0と1のみからなる3進数100001_{(3)}\,になる. \\[1zh] 別解のように,\ \bm{10進法のまま2=3-1を利用して変形していく}方法もある. \\[.2zh] 必ず\bm{3の累乗数の和(差)に変形できるので,\ 負の項を左辺に移項すればよい.} \\[1zh] 3進法において,\ 0と1のみで表せる6桁の最大の自然数は111111_{(3)}=364_{(10)}である. \\[.2zh] 10進法の1から364までのすべての自然数は,\ 3進法の1_{(3)}\,~\,111111_{(3)}\,と1対1で対応する. \\[.2zh] 3進数にするとある位の数字が2になる自然数の場合は,\ 本問と同様に処理する. \\[.2zh] 結局,\ \bm{6個のおもりで,\ 1\,\textbf{g}から364\,\textbf{g}までを1\,\textbf{g}刻みで,\ それぞれただ1通りのはかり方ができる.} \\[1zh] 1個のおもりには,\ 左の皿にのせる(-1)か右の皿にのせる(1)かのせない(0)かの3通りがある. \\[.2zh] よって,\ 3進法で考えるのが有効というわけである.
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