2進法・3進法と分銅問題

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1\,g,\ 2\,g,\ $2^2$g,\ $2^3$g,\ $2^4$g,\ $2^5$g\,のおもりが1個ずつと天秤ばかりがある. \ \ この天秤ばかりで52\,g\,のものをはかる方法を示せ. (2)\ \ 1\,g,\ 3\,g,\ $3^2$g,\ $3^3$g,\ $3^4$g,\ $3^5$g\,のおもりが1個ずつと天秤ばかりがある. \ \ この天秤ばかりで208\,g\,のものをはかる方法を示せ. \\ 2進法・3進法と分銅問題  (1)\ \ $52=32+16+4=1・2^5+1・2^4+1・2^2}$ ∴$ 一方の皿に52\,gのものをのせ,\ 他方の皿に$2^5}$g,\ $2^4}$g,\ $2^2}$gのおもりをのせる. 要するに,\ 52を1,\ 2,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ 2^5\,の和で表せる}かが問われている. これは,\ 52を2進数に変換する}ことに相当する. このように直接的に和に変換してもよいし,\ 筆算で110100_{(2)\,を求めてから和で表してもよい. 本問の背景に少し踏み込んでおく. 2進法において,\ 6桁の最大の自然数は111111_{(2)}=63_{(10)}\,である. 10進法の1から63までのすべての自然数は,\ 2進法の1_{(2)}\,~\,111111_{(2)}\,と1対1で対応する. つまり,\ 6個のおもりで,\ 1\,g}から63\,g}までを1\,g}刻みで,\ それぞれただ1通りのはかり方ができる.} 1個のおもりには,\ のせる(1)かのせない(0)かの2通りがある. よって,\ 2進法で考えるのが有効というわけである.    ∴$ 一方の皿に208\,gのものと$3^2}$g,\ $3^3}$gのおもりをのせ,}    ∴$} \ \,他方の皿に$3^5}$g,\ $1}$gのおもりをのせる.} よって $208+3^3+3^2=3^5+1}$    ∴$ 一方の皿に208\,gのものと$3^2}$g,\ $3^3}$gのおもりをのせ,}    ∴$} \ \,他方の皿に$3^5}$g,\ $1}$gのおもりをのせる. 2個ずつあるならば,\ 一方の皿に3^4g}\,2個,\ 3^3g}\,1個,\ 3^2g}\,2個,\ 1g}\,1個のおもりをのせればよい. 実は,\ おもりが1個ずつであっても,\ 両方の皿にのせることを許せば,\ はかることができる.} 各皿にどのようにのせるべきかを求めるために,\ 208_{(10)}=21201_{(3)}\,を式変形していく. とにかく,\ 右辺に2があるとおもりが2個必要なことになってしまう. 6個のおもりの質量を3進法で表すとそれぞれ1,\ 10,\ 100,\ 1000,\ 10000,\ 100000である. これらを両辺に適切に加えることで,\ すべての位が0と1のみからなる3進数に変換できる.} 2_{(3)}+1_{(3)}=10_{(3)}\,を利用するのである. 21201_{(3)}\,は,\ 100_{(3)}\,を足すことで3^2\,の位を0にできる(22001_{(3)}\,になる). さらに,\ 1000_{(3)}\,を足すことにより,\ すべての位が0と1のみからなる3進数100001_{(3)}\,になる. 別解のように,\ 10進法のまま2=3-1を利用して変形していく}方法もある. 必ず3の累乗数の和(差)に変形できるので,\ 負の項を左辺に移項すればよい.} 3進法において,\ 0と1のみで表せる6桁の最大の自然数は111111_{(3)}=364_{(10)}である. 10進法の1から364までのすべての自然数は,\ 3進法の1_{(3)}\,~\,111111_{(3)}\,と1対1で対応する. 3進数にするとある位の数字が2になる自然数の場合は,\ 本問と同様に処理する. 結局,\ 6個のおもりで,\ 1\,g}から364\,g}までを1\,g}刻みで,\ それぞれただ1通りのはかり方ができる.} 1個のおもりには,\ 左の皿にのせる(-1)か右の皿にのせる(1)かのせない(0)かの3通りがある. よって,\ 3進法で考えるのが有効というわけである.
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高校数学A 整数
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