整数からなる数列の漸化式

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本項目は発展的な内容です。また、漸化式は数B:数列の学習内容です。

整数からなる数列a_n}を次に示す漸化式によって定める. $このとき,\ a_nが偶数となるための条件を求めよ.      [東京大]$  $$漸化式で定義された余りの数列は,\ 一定の周期で循環する.  $$余りを考慮する整数値漸化式は,\ 合同式で余りの漸化式に変換する. 漸化式で定義される整数の数列の性質は,\ 一般項を求めてもわからない. 本問に至っては,\ 一般項を求めようとすると虚数まで登場する. よって,\ {整数値漸化式は,\ 漸化式のまま考える}ことになる. 整数値漸化式の倍数・余りの問題では,\ {余りが循環する}ことがポイントになる. 本問のような隣接3項間漸化式では,\ n番目の整数は前2つの項に依存して定まる. よって,\ {n番目の整数の余りも前2つの項の余りに依存}して定まる. つまり,\ a₁の余りとa₂の余りでa₃の余りが決まるのである.\ 以降も同様である. 例として,\ 3で割った余りを考えると,\ 0,\ 1,\ 2の3種類しかない. この3数から2数(重複可)を選んで並べるときの場合の数は,\ 3²=9通りである. よって,\ a_{10},\ a_{11}までに必ずa₁,\ a₂の余りと同じ並びが現れる. 一旦{a₁,\ a₂の余りと同じ並びが現れると,\ 以降は循環する}のである. 余りだけ考慮するのであれば,\ {合同式}が有効である. a_nの余りをr_nとし,\ 元の漸化式を余りの漸化式に変換すると見通しがよくなる.  $a_nを2で割った余りをr_nとする.  $よって,\ {1,\ 1,\ 0が循環}する.$  $ゆえに,\ a_nが偶数となるための条件は,\ {nが3の倍数であること}である.$ まず,\ 余りに関する漸化式に変換する.\ 3≡1,\ 7≡1od2も適用した. 後は,\ {r₁,\ r₂と同じ並び1,\ 1が現れるまで書き出していく}とよい. 2で割ったときの余りは0,\ 1しかなく,\ その並びはわずか2²=4通りである. よって,\ r₅,\ r_6までに必ずr₁,\ r₂と同じ並びが現れるはずである. r₄,\ r₅が1,\ 1となるからここから循環する.\ よって,\ 周期は3である. 周期3のうち,\ 3番目が0であり,\ これが偶数である.
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高校数学A 整数
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