ガウス記号の応用③ [f(n)]の異なる整数の個数

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x$を超えない最大の整数を$\gauss x$で表す. \\[.2zh] \hspace{.5zw}次の2020個の整数の中にある異なる整数の個数を求めよ. \gauss{f(n)}}$の異なる整数の個数}   自然数$n$に対して,\ $f(n)=\bunsuu{2020}{n}$と定めると,\ $f(n)$は単調減少数列である. \\[1zh] 45個の整数$\gauss{\bunsuu{2020}{1}},\ \cdots,\ \gauss{\bunsuu{2020}{45}}$はすべて異なる.}\gauss{\bunsuu{2020}{2020}}$の中には44から1までの整数がすべて含まれる.} \\\\\\ \centerline{$\therefore$ [1],\ [2]\,より 異なる整数の個数は\ \ $45+44-1=\bm{88\ 個}$} \\\\[1zh] 問題の構造と解法を理解するため,\ 分子が7の場合を具体的に書き出してみる. この場合,\ 異なる整数の個数は7,\ 3,\ 2,\ 1の4個である. \\[1zh] 以下,\ f(n)>f(n+1)の場合を考える. \\[.2zh] 異なる整数の個数を数える上で重要になるのは,\ \bm{f(n)とf(n+1)の差}である. \\[.2zh] \bm{差f(n)-f(n+1)が1以上のとき,\ \gauss{f(n)}と\gauss{f(n+1)}は必ず異なる整数値をとる.} \\[.4zh] f(n)>f(n+1)より,\ \gauss{f(n)}>\gauss{f(n+1)}が成り立つといえる(等号がつかない点が重要). \\[.4zh] 例えば,\ \gauss{2.2}=2,\ \ \gauss{1.2}=1\ である. \\[.4zh] \gauss xはxの整数部分を表すのであった.\ \bm{1以上離れた2数は必ず整数部分が異なる}という話である. \\[1zh] 一応証明しておくとと以下のようになる. \\[.5zh]  f(n)-f(n+1)\geqq1のとき,\ \gauss{f(n)}=\gauss{f(n+1)}=k\ となる整数kが存在すると仮定する. \\[.4zh]  ガウス記号の定義より 一方,\ \bm{差が1より小さいとき,\ \gauss{f(n)}と\gauss{f(n+1)}が異なる整数値をとるとは限らない.} \\[.4zh] 例えば,\ \gauss{1.9}=\gauss{1.1}=1である.\ 差が1未満の2数の整数部分は一致する可能性があるわけである. \\[.4zh] \gauss{2.2}=2,\ \gauss{1.8}=1のように一致しない可能性もある. \\[.4zh] ただし,\ \bm{一致しない場合,\ \gauss{f(n)}と\gauss{f(n+1)}の差は必ず1}であることに注意してほしい. 以上をまとめると以下となるので,\ これを利用して解答することになる. なお,\ 単調増加数列の場合は以下となる. \text{[1]}\ \ n(n+1)\leqq2020は,\ 実数xのときと同様にして解こうとすると面倒になる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ nが整数であることを利用する.\ それらしい整数値を代入していくことで,\ nの範囲を求める. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ まず,\ n^2\kinzi2020となるような整数nを考えると,\ 45^2=2025である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ n=45の付近を探ると,\ 44\cdot45=1980,\ 45\cdot46=2070より,\ 1\leqq n\leqq44であるとわかる. \が成り立つといえる. \\[.4zh] \phantom{[1]}\ \ それゆえ,\ \bm{45個の整数\gauss{f(1)},\ \cdots,\ \gauss{f(45)}の中にある異なる整数の個数は45個}である. \\\\ \text{[2]}\ \ \gauss{f(n)}=\gauss{f(n+1)}\ \ または\ \ \gauss{f(n)}-\gauss{f(n+1)}=1\ なので厄介である. \\[.4zh] \phantom{[1]}\ \ つまり,\ 2整数\gauss{f(n)},\ \gauss{f(n+1)}は等しいかもしれないし違うかもしれない. \\[.4zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ \gauss{f(45)},\ \cdots,\ \gauss{f(1)}\,の中にある異なる整数の個数は簡単にはわからないように思える. \\[.4zh] \phantom{[1]}\ \ 極端な話,\ \gauss{f(45)}=\gauss{f(46)}=\cdots\cdots=\gauss{f(2020)}\,であれば,\ 異なる整数の個数は1個である. \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ 実は,\ 意外と簡単に異なる整数の個数がわかる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ なぜなら,\ \gauss{f(n)}-\gauss{f(n+1)}=1より,\ \bm{異なる整数値ならばその差は必ず1}だからである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{n\geqq45のときの両端の値を求める}と,\ \gauss{f(45)}=44,\ \ \gauss{f(2020)}=1である. \\[.4zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{最初が44で最後が1ならば,\ その途中で44から1までの整数44個がすべて現れる.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \gauss{f(n)}-\gauss{f(n+1)}=1より,\ 44の次が突然42になるといったことはありえないからである. \\[.4zh] \phantom{[1]}\ \ 必ず,\ 44\ →\ 43\ →\ 42\ →\ \cdots\ →\ 2\ →\ 1\ のように整数値は1ずつ変化する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ どの段階で変化するかを考えることなく,\ 異なる整数の個数が44個であるとわかる. \\\\ 最後,\ [1]と[2]で\bm{\gauss{f(45)}の場合が重複している}ことに注意して答える.
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