最大公約数gと最小公倍数lの関係と数式表現

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最大公約数と最小公倍数の関係と数式表現}}}} \\\\[.5zh]  $[1]$\ \ $2整数の\bm{\textcolor{red}{最大公約数が1}}であるとき,\ 2整数は\bm{\textcolor{blue}{互いに素}}であるという.$ \\\\  $[2]$\ \ $\bm{  日本語「\,\textcolor{cyan}{a,\ bの最大公約数がg\,}」}$ \\[.2zh] \phantom{ [1]}\ \ $\bm{→ 数式 「\,\textcolor{red}{a=ga’,\ \ b=gb’\ \ (a’,\ b’\,は互いに素な整数)}」}$ \\\\  $[3]$\ \ $自然数a,\ bの最小公倍数をl,\ 最大公約数をgとする \text{[1]}\ \ 例えば,\ \ 3と5は互いに素だが,\ 3と6は最大公約数が3なので互いに素ではない. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 互いに素は,\ 素数とは全く関係がないことに注意する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 3数の場合,\ \bm{3数の最大公約数が1のときに互いに素}といえる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 例えば,\ 3数4,\ 6,\ 9は,\ 最大公約数が1ではない2数が含まれているが,\ 互いに素である. \\[1zh] \text{[2]}\ \ 特に整数問題では,\ \bm{問題の条件を自分で文字を設定して数式で表現できるか}が問われる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 2数の最大公約数や最小公倍数に関する条件が与えられた場合,\ 自分で[2]のように設定する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 単に丸暗記するだけでは応用が利かないので,\ 意味合いを理解しておく必要がある. \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ 具体的な数で考えてみるとわかりやすいだろう. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 60=2^2\cdot3\cdot5,\ \ 84=2^2\cdot3\cdot7の最大公約数は,\ 2^2\cdot3=12である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 最大公約数12以外の部分は1以外の共通の正の約数をもたないはずである. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 実際,\ 最大公約数12以外の5と7の最大公約数は1,\ つまりは互いに素である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ これを文字を用いて一般化したのが[2]である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a=60,\ b=84のとき,\ g=12,\ a’=5,\ b’=7である. \\[1zh] \text{[3]}\ \ 最大公約数gと最小公倍数lの関係も,\ 60と84を例に考えよう. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 60=(2^2\cdot3)\cdot5,\ \ 84=(2^2\cdot3)\cdot7\ のとき 最小公倍数\ \ (2^2\cdot3)\cdot5\cdot7 \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ これを文字を用いて一般化すると,\ [3]の関係が得られる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ a=ga’,\ \ b=gb’\ (a’,\ b’\,は互いに素)のとき 最小公倍数\ \ l=ga’b’ \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ [2]の設定をすることにより,\ 最小公倍数をこのように表せていることに注目してほしい. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ つまり,\ \bm{最小公倍数に関する条件が与えられた場合も,\ 最大公約数を設定して表現する.} \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ さらに gl=g\cdot ga’b’=(ga’)(gb’)=ab \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ 公式暗記も重要だが,\ 具体例を元に自分で導けるようにしておくことのほうが100倍重要である. \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ なお,\ 3つ以上の自然数に対しては,\ [3]のような関係(abc=gl)が成り立つとは限らない. \\[1zh] g,\ lは,\ 最大公約数(\text{greatest\ common\ divisor}),\ 最小公倍数(\text{least\ common\ multiple})に由来する.a\geqq bを満たす自然数a,\ bについて,\ a+bがa,\ bの最大公約数の4倍に等しいとき,\ $ \\[.2zh] 「\,a,\ bの最大公約数」とあるので,\ とにかくまずこの\bm{日本語を数式に変換}する. \\[.2zh] さらに,\ \bm{問題の文字を消去し,\ 自分が設定した文字の条件を追求する}のが整数問題の極意であった. \\[1zh] 本問の場合,\ a\geqq b,\ \ a+b=4g,\ \ \bunsuu ab\,を全てg,\ a’,\ b’\ で表して考えることになる. \\[.8zh] 最大公約数は必ず正数なのでga’\geqq gb’\,の両辺をgで割ることができる.\ 不等号の向きは変わらない. \\[.2zh] a’+b’=4を満たすa’,\ b’\,は,\ a’\geqq b’\,とa’,\ b’\,が互いに素な自然数であることに注意して求める. \\[.2zh] (a’,\ b’)=(1,\ 3),\ (2,\ 2)は不適なので,\ 1通りの組しかないことがわかる. 積が2700,\ 最小公倍数が180であるような2つの自然数を求めよ.$ \\ 条件が最小公倍数に関するものだが,\ 最大公約数を文字で設定して条件を数式にするのが基本である. \\[.2zh] 本問の場合,\ a>bとしても一般性は失われない.\ 大小関係を設定しておくと後が楽になる. \\[1zh] 2つの条件を数式で表現して連立すると,\ gを求めることができる. \\[.2zh] gは,\ ga’\cdot gb’=(ga’b’)g=180g=2700としてもよいし,\ \bunsuu{ga’\cdot gb’}{ga’b’}=\bunsuu{2700}{180}\,として求めてもよい. \\[.8zh] a’b’=12において,\ a’\,とb’\,は互いに素なので(6,\ 2)の組合せは不適である. \\[1zh] 本問の場合,\ ab=glを利用してg=15を素早く求めることも可能である(別解).

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