有限小数と循環小数、既約分数が有限小数となるための条件

スポンサーリンク
実数の分類}} \\[1zh]  $\bm{実数}\有理数}{有限小数} 小数第何位かまでで終わる小数}}  循環小数} \textcolor{red}{同じ列の数字が一定周期で循環する無限小数}}  \bm{無理数 \textcolor{red}{循環しない無限小数}}\ \left(\bunsuu{整数}{整数}\,で表せない\right)     循環小数において,\ 循環する数字の列のうち最短のものを\textbf{\textcolor{blue}{循環節}}という. \\[.2zh]   例えば,\ $0.222\cdots$の循環節は2,\ \ $0.12345345345\cdots$の循環節は345である. 循環小数は,\ 循環節の最初と最後の数字の上に・をつけて表す.  高校数学では,\ \bm{有限小数と循環小数は別物で,\ 分数はどちらか一方のみに属する}という扱いである. \\[.2zh] しかし,\ 実は整数や有限小数は循環小数の一種とみなすこともできるので,\ 参考程度に述べておく. \\[1zh] (理由1) 例えば,\ 1は1.000\cdots=1.\dot{0}\,のように循環節が0の循環小数とみなすことができる. \\[1zh] (理由2) 一般に1=0.999\cdots=0.\dot{9}\,などが成り立つから,\ 有限小数は循環節9の循環小数で表せる. \\[.2zh] \phantom{(理由2)} 0.\dot{9}\,は1より小さい数ではなく,\ 1そのものなのである. \\[.2zh] \phantom{(理由2)} 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の知識があれば,\ 0.\dot{9}=0.9+0.09+0.009+\cdots=\bunsuu{0.9}{1-0.1}=1と証明できる. \\[1zh] (理由3)\ \ 10進法で有限小数でも,\ 他の記数法で循環小数になることがある.\ その逆もある(別項). \\[.2zh] \phantom{(理由2)} \rei\ \ 10進法での0.5\,は,\ 3進法で表すと0.\dot{1}\,である. 既約分数が有限小数となるための条件}} \\[1zh]   整数でない既約分数$\bunsuu mn$について \ 分母nの素因数が2,\ 5のみ}\   [\,\textcolor{blue}{$\Longrightarrow$の証明}\,] \\[1zh]    $\textcolor{red}{n=2^p5^q}\ (\,p,\ q:0以上の整数,\ p^2+q^2\neqq0\,)$とおける. \\[1zh]    $\bunsuu mn=\bunsuu{m}{\textcolor{red}{2^p5^q}}=\bunsuu{m\cdot2^q5^p}{2^p5^q\cdot2^q5^p}=\textcolor{magenta}{\bunsuu{m\cdot2^q5^p}{10^{p+q}}}$ \\[1zh]    \textcolor{forestgreen}{$m\cdot2^q5^p$は整数,\ $\bunsuu{1}{10^{p+q}}$は有限小数}であるから,\ $\bm{\bunsuu mn\,は有限小数}$である. \\\\\\   [\,\textcolor{blue}{$\Longleftarrow$の証明}\,] \\[1zh]    既約分数$\bunsuu mn$が小数第$k$位までの有限小数であるとする. \\[.5zh]    このとき,\ $\bunsuu mn=\textcolor{magenta}{\bunsuu{m\cdot10^k}{n}\,は整数}$である. \\[.5zh]    \textcolor{forestgreen}{$m,\ n$は互いに素}であるから,\ \textcolor{red}{$n$は$10^k=2^k\cdot5^k$の約数}である. \\[.5zh]    つまり,\ \textbf{分母$\bm{n}$の素因数は2,\ 5のみ}である. \\ 既約分数が有限小数となるための条件は要暗記である. \\[.2zh] 記述試験で無断使用してもよいと思われるが,\ 中級者以上は証明も確認しておいてほしい. \\[1zh] 対偶をとると,\ \bm{分母nの素因数に2,\ 5以外のものがある\ \Longleftrightarrow\ 分数\,\bunsuu mn\,が循環小数}\ となる. \\[1zh] 証明は以下の具体例を一般化しただけであり,\ そこまで難しくはない. \ 分母の素因数が2,\ 5のみならば,\ 分母分子に2や5の累乗数を掛けて分母を10の累乗数にできる. \\[.2zh] 分母が10の累乗数ということは有限小数ということである. \\[1zh] p^2+q^2\neqq0は,\ pとqがともに0ではないことを意味する. \\[.2zh] 一般にa^0=1\ (数\text{I\hspace{-.1em}I})なので,\ p=q=0のときn=1となり,\ \bunsuu mn\,が分数ではなくなってしまう. \\[1zh] \Longleftarrow の具体例 \bunsuu mn=0.23とすると\,\bunsuu{100m}{n}=23=(整数)\,より,\ nは100=2^2\cdot5^2\,の約数である. \\[.8zh] 既約分数なのでm,\ nは互いに素であり,\ nがmを割り切ることはない. bunsuu{7}{26}$を小数で表したとき,\ 小数第100位の数字を求めよ. \\[1.2zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $\bunsuu{137}{3125}$は小数第何位までの有限小数か. \\ (1)\ \ 筆算で割り算し,\ 分数を循環小数に変換する.\ 100を循環節の桁数で割ると4余る. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{循環は小数第2位から始まるから,\ 小数第100位は循環節の3番目の数字}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  0.2\,|\,\underbrace{692307\,|\,692307\,|\cdots\,|\,692307}_{6桁\times16\,=\,96個}\,|\,692307 \\\\ (2)\ \ 先程の証明と同様に,\ \bm{分母分子に2,\ 5の累乗数を掛けて分母を10の累乗数にする}とよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 念のため分子の一の位が0ではないことを確認し,\ 小数第何位までかが確定する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 有限小数とあるから分母の素因数は2,\ 5のみのはずで,\ 3125=5^5\,に気付くことは難しくない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 具体的には,\ \bunsuu{137}{3125}=\bunsuu{4384}{10^5}=0.04384である. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 分母が2^p5^q\,の分数を小数に変換する際には,\ この発想により割り算が掛け算に変わる. \bunsuu3n$がちょうど小数第3位までの有限小数となるような自然数$n$をすべて求めよ. \\ bunsuu{3000}{n}=\bunsuu{2^3\cdot3\cdot5^3}{n}$が一の位が0ではない自然数になる}ことが必要十分条件である. \dot{ち}\dot{ょ}\dot{う}\dot{ど}小数第3位までであるから,\ \bunsuu{3}{10}=0.3のように小数第1位までのものは含まない. \\[.8zh] よって,\ \bm{\bunsuu3n=0.abc\ (c\neqq0)}となればよく,\ 両辺を1000倍すると \bunsuu{3000}{n}=abc=(自然数) \\[.8zh] \bunsuu{3000}{n}\,が自然数となるnを考えてもよいが,\ 先に\,\bm{\bunsuu{3000}{n}\,のとりうる自然数を考える}方が楽である. \\[.8zh] \bm{2^3\cdot3\cdot5^3\,の約数が候補だが,\ c\neqq0より,\ 2と5を両方素因数にもっているものは不適}である. \\[.2zh] ここに注意して\,\bunsuu{3000}{n}\,のとりうる自然数をすべて書き出し,\ 対応するnを求めればよい. \\[1zh] 場合の数を学習済みならば,\ 約数の個数を計算で求めることができ,\ 見落としが生じにくくなる. \\[.2zh] 2^3\cdot3\cdot5^2\,から素因数2を何個取り出せるかは,\ 0個,\ 1個,\ 2個,\ 3個の4通りがありえる. \\[.2zh] 同様に,\ 3は0個,\ 1個の2通り,\ 5は0個,\ 1個,\ 2個,\ 3個の4通りの取り出し方がある. \\[.2zh] よって,\ 2^3\cdot3\cdot5^3\,の約数の個数は 4\cdot2\cdot4=32\,個 \\[.2zh] 一般に,\ p^aq^br^c\,と素因数分解できる自然数の正の約数の個数は(a+1)(b+1)(c+1)個である. \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{$2,\ 5を少なくとも1個ずつ素因数にもつ約数を作るとき,\ 2,\ 5の取り出し方は1,\ 2,\ 3の3通りとなる.$} \\[.2zh] よって,\ 全部で32個ある約数のうち2と5を両方素因数にもつものは 3\cdot2\cdot3=18\,個 \\[.2zh] ゆえに,\ \bm{条件を満たす自然数nは全部で32-18=14\,個}あるはずである. \\[1zh] すべてのnについて具体的に小数を求めると以下となる. \\[.5zh] 12}{n}$が循環小数となるような2桁の自然数$n$は何個あるか. \\  $12=2^2\cdot3$より,\ \textcolor{red}{$n=2^p\cdot3^q\cdot5^r\ (\,p,\ q,\ r:0以上の整数\ ;\,q=0,\ 1)$}とおける. \\[1zh]  $10\leqq n\leqq99$に注意して\textcolor{magenta}{$\bunsuu{12}{n}$が整数または有限小数になるもの}をすべて書き出すと \\[1zh] 循環小数(分母の素因数に2,\ 5以外のものがある)となるものの個数を直接求めるのは面倒である. \\[.2zh] \bm{全体から整数と有限小数になるものを引く}のがよい. \\[1zh] 有限小数になるための条件は,\ \uwave{既約分数にしたとき}の分母の素因数が2,\ 5のみである. \\[.2zh] 分子12が素因数3を1個もつから,\ \bm{分母nは2,\ 5に加えて3を1個までならもっていてもよい.} \\[.2zh] \bunsuu{12}{n}\,が整数となる場合も含め,\ 2^p\cdot3^q\cdot5^r\ (q=0,\ 1)の形のnの個数を数えればよいとわかる. \\[.8zh] 本問の場合,\ n=2^2\cdot3=12のときのみ\,\bunsuu{12}{n}\,が整数となる. \\[.8zh]
タイトルとURLをコピーしました