実数の分類
$実数}\有理数}{有限小数} 小数第何位かまでで終わる小数
循環小数} 同じ列の数字が一定周期で循環する無限小数
無理数 循環しない無限小数\ 整数}{整数}\,で表せない
循環小数において,\ 循環する数字の列のうち最短のものを循環節という.
例えば,\ $0.222･･･$の循環節は2,\ \ $0.12345345345･･･$の循環節は345である.
循環小数は,\ 循環節の最初と最後の数字の上に・をつけて表す.
高校数学では,\ 有限小数と循環小数は別物で,\ 分数はどちらか一方のみに属する}という扱いである.
しかし,\ 実は整数や有限小数は循環小数の一種とみなすこともできるので,\ 参考程度に述べておく.
(理由1) 例えば,\ 1は1.000･･･=1.\dot{0}\,のように循環節が0の循環小数とみなすことができる.
(理由2) 一般に1=0.999･･･=0.\dot{9}\,などが成り立つから,\ 有限小数は循環節9の循環小数で表せる.
(理由2)} 0.\dot{9}\,は1より小さい数ではなく,\ 1そのものなのである.
(理由2)} 数III}の知識があれば,\ 0.\dot{9}=0.9+0.09+0.009+･･･=0.9}{1-0.1}=1と証明できる.
(理由3)\ \ 10進法で有限小数でも,\ 他の記数法で循環小数になることがある.\ その逆もある(別項).
(理由2)} \rei\ \ 10進法での0.5\,は,\ 3進法で表すと0.\dot{1}\,である.
既約分数が有限小数となるための条件
整数でない既約分数$ mn$について \ 分母nの素因数が2,\ 5のみ}\
[\,$⇒$の証明}\,]
$n=2^p5^q}\ (\,p,\ q:0以上の整数,\ p^2+q^2≠0\,)$とおける.
$ mn=m}{2^p5^q=m･2^q5^p}{2^p5^q･2^q5^p}=m･2^q5^p}{10^{p+q$
$m･2^q5^p$は整数,\ $1}{10^{p+q$は有限小数}であるから,\ $ mn\,は有限小数}$である.
[\,$\Longleftarrow$の証明}\,]
既約分数$ mn$が小数第$k$位までの有限小数であるとする.
このとき,\ $ mn=m･10^k}{n}\,は整数}$である.
$m,\ n$は互いに素}であるから,\ $n$は$10^k=2^k･5^k$の約数}である.
つまり,\ 分母$n}$の素因数は2,\ 5のみ}である. \\
既約分数が有限小数となるための条件は要暗記である.
記述試験で無断使用してもよいと思われるが,\ 中級者以上は証明も確認しておいてほしい.
対偶をとると,\ 分母nの素因数に2,\ 5以外のものがある\ ⇔\ 分数\, mn\,が循環小数}\ となる.
証明は以下の具体例を一般化しただけであり,\ そこまで難しくはない. \
分母の素因数が2,\ 5のみならば,\ 分母分子に2や5の累乗数を掛けて分母を10の累乗数にできる.
分母が10の累乗数ということは有限小数ということである.
p^2+q^2≠0は,\ pとqがともに0ではないことを意味する.
一般にa^0=1\ (数II})なので,\ p=q=0のときn=1となり,\ mn\,が分数ではなくなってしまう.
\Longleftarrow の具体例 mn=0.23とすると\,100m}{n}=23=(整数)\,より,\ nは100=2^2･5^2\,の約数である.
既約分数なのでm,\ nは互いに素であり,\ nがmを割り切ることはない.
bunsuu{7}{26}$を小数で表したとき,\ 小数第100位の数字を求めよ.
(2)\ \ $137}{3125}$は小数第何位までの有限小数か. \\
(1)\ \ 筆算で割り算し,\ 分数を循環小数に変換する.\ 100を循環節の桁数で割ると4余る.
\ \ 循環は小数第2位から始まるから,\ 小数第100位は循環節の3番目の数字}である.
\ \ 0.2\,|\,\underbrace{692307\,|\,692307\,|･･･\,|\,692307}_{6桁×16\,=\,96個}\,|\,692307
(2)\ \ 先程の証明と同様に,\ 分母分子に2,\ 5の累乗数を掛けて分母を10の累乗数にする}とよい.
\ \ 念のため分子の一の位が0ではないことを確認し,\ 小数第何位までかが確定する.
\ \ 有限小数とあるから分母の素因数は2,\ 5のみのはずで,\ 3125=5^5\,に気付くことは難しくない.
\ \ 具体的には,\ 137}{3125}=4384}{10^5}=0.04384である.
\ \ 分母が2^p5^q\,の分数を小数に変換する際には,\ この発想により割り算が掛け算に変わる.
3n$がちょうど小数第3位までの有限小数となるような自然数$n$をすべて求めよ. \\
bunsuu{3000}{n}=2^3･3･5^3}{n}$が一の位が0ではない自然数になる}ことが必要十分条件である.
\dot{ち}\dot{ょ}\dot{う}\dot{ど}小数第3位までであるから,\ 3}{10}=0.3のように小数第1位までのものは含まない.
よって,\ 3n=0.abc\ (c≠0)}となればよく,\ 両辺を1000倍すると 3000}{n}=abc=(自然数)
3000}{n}\,が自然数となるnを考えてもよいが,\ 先に\,3000}{n}\,のとりうる自然数を考える}方が楽である.
2^3･3･5^3\,の約数が候補だが,\ c≠0より,\ 2と5を両方素因数にもっているものは不適}である.
ここに注意して\,3000}{n}\,のとりうる自然数をすべて書き出し,\ 対応するnを求めればよい.
場合の数を学習済みならば,\ 約数の個数を計算で求めることができ,\ 見落としが生じにくくなる.
2^3･3･5^2\,から素因数2を何個取り出せるかは,\ 0個,\ 1個,\ 2個,\ 3個の4通りがありえる.
同様に,\ 3は0個,\ 1個の2通り,\ 5は0個,\ 1個,\ 2個,\ 3個の4通りの取り出し方がある.
よって,\ 2^3･3･5^3\,の約数の個数は 4･2･4=32\,個
一般に,\ p^aq^br^c\,と素因数分解できる自然数の正の約数の個数は(a+1)(b+1)(c+1)個である.
$2,\ 5を少なくとも1個ずつ素因数にもつ約数を作るとき,\ 2,\ 5の取り出し方は1,\ 2,\ 3の3通りとなる.$}
よって,\ 全部で32個ある約数のうち2と5を両方素因数にもつものは 3･2･3=18\,個
ゆえに,\ 条件を満たす自然数nは全部で32-18=14\,個}あるはずである.
すべてのnについて具体的に小数を求めると以下となる.
12}{n}$が循環小数となるような2桁の自然数$n$は何個あるか. \\
$12=2^2･3$より,\ $n=2^p･3^q･5^r\ (\,p,\ q,\ r:0以上の整数\ ;\,q=0,\ 1)$}とおける.
$10≦ n≦99$に注意して$12}{n}$が整数または有限小数になるもの}をすべて書き出すと
循環小数(分母の素因数に2,\ 5以外のものがある)となるものの個数を直接求めるのは面倒である.
全体から整数と有限小数になるものを引く}のがよい.
有限小数になるための条件は,\ \uwave{既約分数にしたとき}の分母の素因数が2,\ 5のみである.
分子12が素因数3を1個もつから,\ 分母nは2,\ 5に加えて3を1個までならもっていてもよい.}
12}{n}\,が整数となる場合も含め,\ 2^p･3^q･5^r\ (q=0,\ 1)の形のnの個数を数えればよいとわかる.
本問の場合,\ n=2^2･3=12のときのみ\,12}{n}\,が整数となる.
