剰余類と連続整数の積による倍数の証明

剰余類で場合分け}をして全ての場合を尽くす.}    3を法とする剰余類 4を法とする剰余類  5を法とする剰余類  3を法とする剰余類  4を法とする剰余類  5を法とする剰余類 因数分解して,\ 連続整数の積の形を探す.\ 強引に作り出すのも有効. { }\ ${「n個の連続整数の積}はn! で割り切れる}」}ことを利用するためである.$ }\ 整数は無限にあるから1つずつ調べるわけにはいかない. 余りに関する整数問題では,\ 整数を余りで分類して考える.} \ {無限にある整数も,\ 余りで分類すると有限になる}ことを利用するのである. \ 例えば,\ すべての整数は,\ 3の余りで分類すると,\ 0,\ 1,\ 2の3つに分類される. \ 3の余りの問題ならば,\ わずか3通りの調査で,\ 全ての場合が尽くされる. \ 同じ余りになる整数の集合を{剰余類}という. \ 実際には,\ 例のように{整数を余りがわかる形に文字で設定}する. \ 3で割ったときの余りは,\ 普通に考えると\ n=3k,\ 3k+1,\ 3k+2\ となる. \ しかし,\ { として対称に設定}すると計算が楽になることが多い. \ 重要なのは余りだけであることを考慮すると,\ {合同式}による表現が有効である. \ 合同式を用いると,\ 単なる数値代入問題と化す. }\ {二項係数を利用した証明}が非常に簡潔である.\ 先に具体例を示す. \ C73は7個から3個取り出すときの組合せの数であるから整数である. の右辺は,\ 5~7の連続3整数の積を3!\ で割った式である. \ 左辺C73は整数なので,\ 右辺も整数でなければならない. \ よって,\ 5~7の連続3整数の積は3! で割り切れる.\ これを一般化すればよいleft(={連続n整数の積}{n!}) \ 左辺は,\ m個からn個を取り出す場合の組合せの数であるから整数である. \ 連続n整数の積\ m(m-1)(m-2){m-(n-1)}\ は,\ n! で割り切れる. \ 直感的には次のように理解できる. \ 整数には,\ 周期2で2の倍数,\ 周期3で3の倍数が現れる. \ よって,\ 連続3整数には2と3の倍数が少なくとも1つずつ含まれる. \ ゆえに,\ 連続3整数の積は2の倍数かつ3の倍数であり,\ 3!=6で割り切れる. 連続2整数の積}であるから,\ 2の倍数}である.$ 2の倍数の証明までは同じ.\ 3の倍数の証明を合同式で記述する}強引に連続3整数の積を作る}]   $n(n-1)(n-2),(n-1)n(n+1)\ は連続3整数の積}なので,\ 6の倍数.$ $ 2n³-3n²+n\ は,\ {6の倍数である.}$}  [強引に連続3整数の積を作る}]   $n(n-1)(n-2)\ は連続3整数の積}であるから,\ 6の倍数}である.$   $n(n-1)\ は連続2整数の積}であるから2の倍数}である.$   $よって,\ 3n(n-1)\ は6の倍数}となる 2n³-3n²+nは,\ {6の倍数である.} }もも使えるものはすべて使って示す. 6の倍数証明だが,\ 6の剰余類はn=6k,\ 6k1,\ 6k2,\ 6k+3の6つもある. 6通り調べてもよいが大変だし,\ 応用も利かない.\ まず,\ 容易に{因数分解}できる. すると,\ 連続2整数n-1,\ nの積が見つかるから,\ 後は3の倍数の証明で済む. n=3k,\ 3k1\ の3通りに場合分けし,\ それぞれが3を因数にもつことを示す. {合同式}を用いた別解は,\ 本解と実質同じだが,\ 記述が簡潔である. {連続整数の積の性質}を最大限利用する別解を3つ示した.\ 簡潔だが慣れを要する. n(n-1)という連続2整数の積がすでにある. {2n-1から無理矢理n-2やn+1を作って連続3整数の積にする}のである. nが整数のとき,\ n⁵-nが30の倍数であることを示せ.$ (n-1)n(n+1)は連続3整数の積}なので6の倍数}である.$  $(.14zw}i.14zw})}\ n=5k}\ (k:整数)のとき,\ 明らかに5の倍数である.$  $(ii)}\ n=5k+1}\ (k:整数)のとき$     $n-1=(5k+1)-1=5}k\ より,\ 5の倍数である.$  $(.75}{iii})}\ n=5k-1}\ (k:整数)のとき$     $n+1=(5k-1)+1=5}k\ より,\ 5の倍数である.$  $(.8}{iv})}\ n=5k+2}\ (k:整数)のとき$     $n²+1=(5k+2)²+1=5}(5k²+4k+1)\ より,\ 5の倍数である.$  $(1]{v})}\ n=5k-2}\ (k:整数)のとき$     $n²+1=(5k-2)²+1=5}(5k²-4k+1)\ より,\ 5の倍数である.$ $ n⁵-n\ は,\ {30の倍数である.}$}  [6の倍数の証明までは同じ.\ 5の倍数の証明を合同式で記述する強引に連続5整数の積を作る}]   $連続5整数の積\ (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)}\ は,\ 5!=120の倍数}.$   $連続3整数の積\ (n-1)n(n+1)\ は6の倍数}なので,\ 第2項は30の倍数n⁵-n\ は,\ {30の倍数である.}$ 因数分解すると連続3整数の積が見つかる. よって,\ 後は5の倍数であることを示せばよい. 簡単のため,\ 5の倍数になる因数だけを取り出して記述した. 能力が高い人は,\ 次のようにさらに簡潔な記述も可能である.  n=5k1\ のとき n±1=(5k1)±1=5k  n=5k2\ のとき n²+1=(5k2)²+1=5(5k²4k+1) 合同式を使えば非常に簡潔に済む.\ {展開前の式\ n⁵-n\ に代入する}だけでよい. 連続5整数の積にする別解は参考までに. 本問は,\ フェルマーの小定理「n^p-nはpの倍数\ (p:素数)」の特殊な場合である. また,\ 30の倍数であるということは10の倍数でもある. 10で割ったときの余りは一の位の数と一致する. よって,\ すべての整数は,\ {5乗すると元の数と一の位が同じになる.}
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