素数の定義と性質、素数が無限にあることの証明

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素数の定義}  2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数  $$\ 素数は無限にある 素数が有限個であると仮定}し,\ その全て}を\ $p₁,\ p₂,\ ,\ p_n\ とおく.$ { }$「N=p₁p₂ p_n+1}」$という数を考える. { }$N$が素数}ならば,$p₁~p_n$が全ての素数であることと矛盾}する. { }$N$が合成数}ならば,$N$を割り切る素数が存在するはずである. { }ところが,\ $式の形から,\ p₁~p_n$のいずれで割ったときも1余る. { }よって,\ $p₁~p_n$以外の素数が存在することになり,\ 仮定と矛盾}する. { }以上より, 素数が無限にあることが示された.  $[3]$\ $素数pの{約数は1と pに限られる.$  $[4]$\ $素数pは,\ {1,\ 2,\ 3,\ ,\ p-1\ の全てと互いに素である.$  $[5]$ 偶数の素数は2のみ  逆に言えば,\ 3以上の素数は全て奇数 問題で素数という条件があれば,\ 素数の性質を何かしら使うはずである. 「整数」自体かなり厳しい条件だが,\ 中でも{「素数」は最強に厳しい条件}である. よって,\ 少ない条件からでも,\ 値を絞り込んだり特定できたりするのである. }\ 1は1自身の1個しか約数をもたないから素数(prime\ number})ではない. }\ 上の証明は,\ ユークリッドの「原論」に記された最古の証明とは微妙に異なる. \ 数学的にはユークリッドによる直接証明のほうが意義深い. \ しかし,\ 高校生がよく見かけるのは,\ 上の{背理法を用いた間接証明}である. \ なお,\ 「p₁~p_nで割り切れないからN_n\ は素数となり矛盾」とする{誤り}が多い. \ 実際,\ N=23571113+1=59509\ という反例が存在する. \ Nは,\ 素数となる場合も合成数となる場合もある. \ {素数としても,\ 合成数としても,\ 有限個とした仮定と矛盾する}のである. \ また,\ {Nは,\ 有限個の素数を元に,\ 新たな素数の存在を示唆する式}である. \ 有限個の素数でNを作ると,\ N自体かその約数として新たな素数が見つかる. [3]}\ 例:素数13の約数は,\ 1と13のみ. [4]}\ 例:素数7は,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6のいずれとも互いに素である. n²-20n+91が素数となる整数nを求めよ.      [明治学院大]$  $n²-20n+91=(n-7)(n-13)$  $よって\ n-7=1,\ n-13=1},\ つまり\ n=6,\ 8,\ 12,\ 14\ が必要である.$  $n=6のとき7,n=8のとき-5,n=12のとき-5,n=14のとき7$ $ 素数となる整数nは {n=6,\ 14 因数分解によって{積の形}に変形できる. 素数になるためには,\ {因数の1つが1または-1であることが必要}である. 後は,\ 実際に素数となるかを確認する.\ このとき,\ (n-7)(n-13)に代入すること. a,\ dを正の整数とする.\ x₁=a,x₂=a+d,x₃=a+2d,x₄=a+3d$ $とおく.\ x₁,\ x₂,\ x₃,\ x₄\ がすべて素数であるとき,\ aは奇数で,\ dは偶数$ $であることを示せ.                [奈良女子大学]$ x₃-x₁=2d=(偶数)}$\ より,$x₁$と$x₃$は偶奇が一致}する.  偶素数は2しかないから,\ ${x₁=aは奇数}$である.  $x₄-x₂=2d=(偶数)}$\ より,$x₂$と$x₄$は偶奇が一致}する.  よって,\ $x₂$は奇数である.  ゆえに,\ $a$が奇数であることから,\ ${dは偶数}$となる. 複数の素数が絡むとき,\ {素数の和・差がポイントになる}ことが多い. 和・差を考慮することで,\ {偶素数が2しかない}ことが利用できるからである. 一般に,\ (偶数)(偶数)=(偶数) (偶数)(奇数)=(奇数) (奇数)(奇数)=(偶数) である. 整数の和・差における偶奇性と偶素数が2しかないことから次がいえる. {素数の和・差が奇数ならば,\ 一方が2である}ことが確定する. {素数の和・差が偶数ならば,\ 両方が奇素数である}ことが確定する. 本問でいえば,\ x₁とx₃,\ x₂とx₄のそれぞれの偶奇が一致する. しかし,\ 偶素数は1つしかないので,\ 結局{4つとも奇素数}であるといえる. x₂=a+d=(奇素数)で,\ x₁=a=(奇素数)であるから,\ dは偶数である. pを2とは異なる素数とする.m²=n²+p²\ を満たす自然数の組(m,\ n)$ $がただ1組存在することを証明せよ.           [静岡大]$  $ここで,\ pは奇素数であるから,\ p²+1,\ p²-1は正の偶数}である.$  $よって,\ {p²+1}{2},\ {p²-1}{2}\ は自然数となる.$  $以上より,\ 自然数の組(m,\ n)がただ1組存在することが示された. 本問は,\ 代表的な不定方程式\ {x²-y²=k型}である. 因数分解によって{両辺を積の形に変形}し,\ 組合せを考える. 積がp²となる組合せは  よって,\ (m+p)(m-p)=n²\ のように変形してはいけない. 右辺が素数の積でなければ,\ 組合せが特定できないのである. 通常の不定方程式とは異なり,\ 本問は組合せを1組に絞り込む必要がある. x²-y²=k型は,\ {各因数の範囲と大小関係を考慮}すると候補を絞り込める. m,\ nが自然数であることから,\がいえる. このとき,\0より,\ (正)(m-n)=(正)\ となるから,\もいえる. さらに,\ {因数の差を計算}してみることで,\ 大小関係も定まる. 結局,\ (m+n,\ m-n)=(p²,\ 1)\ だけがを満たす. これを解いて(m,\ n)が求まるが,\ 分数の形になっている. (m,\ n)が自然数であるためには,\ {分子が2の倍数}でなければならない. ここで,\ 「pが2以外の素数」という条件が効いてくるわけである. {pは奇素数}であるから,\ p²が奇数であり,\ このとき{p²1が偶数}といえる.
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