約数と倍数、整数問題の極意

整数a,\ bについて,\ {a=kb\ (k:整数)\ と表されるとする.$  $このとき,\ {aをbの倍数,\ bをaの約数という. 0=k0\ (k:整数)\ より,\ {すべての整数は0の約数}である. これは,\ {0がすべての整数の倍数}であることも意味している. a=a1,\ a=(-a)(-1)\ より,\ {1は全ての整数の約数}である. a=kb\ のとき\ a=(-k)(-b)\ より,\ {bがaの約数ならば-bもaの約数}である. が共に自然数となるような自然数nをすべて求めよ.$ 多くの整数問題に通用する統一的な手順が次である.   $$得られた情報を,\ 自分で文字を設定して数式で表現する.   $$既存の文字を消去し, 自分が設定した文字の条件を追求する.   $[3]$その結果を元の文字に還元する.  $nは7の倍数であるから,\ n=7k\ (k:整数)}\ とおける.$ 本問程度ならば,\ 普通に7の倍数かつ140の約数を全て書き出せば済む. ここでは,\ 応用性も考え,\ 上で述べた手順で求めた. まず,\ {n}{7}\ が整数となるには,\ {nは7の倍数でなければならない}ことに気付く. }\ 日本語「nは7の倍数」を,\ 直ちに{数式「n=7k\ (k:整数)」に変換}する. \ 一般に,\ 日本語「aがbの倍数」は,\ 数式「a=kb\ (k:整数)」に変換できる. }\ n=7kを代入し,\ {問題で与えられた文字nを全て消去}する. \ これにより,\ 第一の情報「nは7の倍数」を問題に反映できたことになる. \ 第一の情報が反映された状態で,\ {自分が設定した文字kの条件を追求}するが整数となるから,\ {kが20の約数}であることがわかる. [3]}\ kが定まるから,\ これを{nに還元(n=7kに代入)}すればよい. 要は,\ {「わかったことは直ちに文字で設定してどんどん代入せよ」}ということだ. この考え方は今後何度も使うので,\ 自然に実行できるまでに慣れよう. 問題の文字の消去は,\ 最初は勇気がいるが,\ これこそが{整数問題の極意}である.
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