余りが一致する条件、2乗で下2桁が変わらない自然数

3つの自然数\ 152,\ 212,\ 422\ をある自然数nで割ると,\ 余りが等しくな$ $る.\ このようなnのうち,\ 最大のものを求めよ.$ 「余りが一致」という条件は,\ 次のように言い換えて扱うのが基本である.$ ${「aとbをcで割った余りが同じ}」「a-bがcで割り切れる}」}$}  原理は以下の解答例で確認する. 最大公約数}は とにかくまず文字を用いて割り算について成り立つ等式を作成する. {差をとることで,\ 未知の文字Rを消去できる.} これにより,\ {余りがわからなくても,\ nを求めることができる}のである. 合同式による表現2乗しても下2桁の数が変わらない2桁の自然数を全て求めよ.$  $求める2桁の自然数をnとすると,n²-nは100=2²5²の倍数}である.$  $ここで,\ n²-n=n(n-1)\ において,\ nとn-1は互いに素}である.$  $よって,\ nとn-1の一方は4の倍数,\ 他方は25の倍数}である.$ り,\ 条件を満たす.$    $n=50\ のとき n-1=49\ より,\ 不適.$    $n=75\ のとき n-1=74\ より,\ 不適.$    $n-1=25\ のとき n=26\ より,\ 不適.$    $n-1=50\ のとき n=51\ より,\ 不適$ 下2桁が同じとは,\ 例えば1935と2835のような数のことである. 一般に,\ ある整数の下2桁の数は{100で割ったときの余り}を考えると取り出せる. 結局,\ 本問は次のように言い換えて解くことになる. {「下2桁が同じ」=「差が100で割り切れる」=「差が100の倍数」} 実際には,\ {n(n-1)=(100の倍数)}\ という不定方程式に帰着する. 単純に100の倍数となる積の組合せを考えようとしても,\ 解の候補が多すぎる. {nとn-1が連続する2整数}であることに着目すると,\ 候補を絞りこめる. {連続する2整数は互いに素}である.\ ここでは証明を省略した. よって,\ (n,\ n-1)=(2,\ 25²)\ などは公約数2をもつから不適となる. 結局,\ {(n,\ n-1)=(2²,\ 5²),\ (5²,\ 2²)}\ のような候補に限られる. 後は\ 10 n99\ にも注意しながら{しらみつぶし}する. 5²=25の倍数を基準にすると最小限の考慮で済む. {nとn-1の一方を25の倍数として,\ 他方が4の倍数になるもの}を探せばよい. ちなみに,25²=625,76²=5776である.
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