余りが一致する条件、2乗しても下2桁が変わらない自然数

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3つの自然数\ 152,\ 212,\ 422\ をある自然数mで割ると,\ 余りが等しくなる.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$このようなmのうち,\ 最大のものを求めよ.$ \\ 余りの一致条件}}}} \\\\[.5zh]   $「余りが一致」という条件は,\ \textcolor{forestgreen}{余りrを含まない条件に言い換えて扱う}のが基本である.$ \\[1zh] \centerline{$\bm{\textcolor{cyan}{aとbはmで割ったときの余りrが等しい}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{a-bがmで割り切れる}}$} \\[1zh]   合同式で表現すると $\bm{\textcolor{cyan}{a\equiv b\ \pmod m}\ \Longleftrightarrow\ \textcolor{red}{a-b\equiv0\ \pmod m}}$ \\\\\\   152,\ 212,\ 422を$m$で割ったときの商をそれぞれ$q_1,\ q_2,\ q_3$,\ 余りを$r$とすると \\[1zh] いきなり差がmで割り切れるとしてもよいが,\ ここではより丁寧に過程を示した. \\[.2zh] 問題の条件をすべて数式で表現し,\ mを求めにいけばよい. \\[1zh] aをbで割ったときの商がq,\ 余りがrは,\ 等式\bm{a=qb+r\ (0\leqq r1)$をもつと仮定し,\ $n=ga,\ n-1=gb\ (a,\ b:自然数)$とおく. \\[.2zh]  このとき$g(a-b)=1$となり$g>1$と矛盾するから,\ $\textcolor{cyan}{nとn-1は互いに素}$である. \\[1zh]  $よって,\ \textcolor{red}{nとn-1の一方は4の倍数,\ 他方は25の倍数}である.$ \\[1zh] 一般に,\ ある整数の下2桁の数は\bm{100で割ったときの余り}として取り出せる. \\[.2zh] よって,\ 本問は次のように言い換えて解くことができる. \\[.5zh]  \bm{(下2桁が同じ)=(100で割ったときの余りが等しい)=(差が100の倍数)} \\[1zh] 実際には,\ \bm{n(n-1)=(100の倍数)}\ という不定方程式に帰着する. \\[.2zh] n(n-1)=100であれば,\ 積が100になる自然数の組をしらみつぶしすることも可能だろう. \\[.2zh] しかし,\ 本問の右辺は100の倍数であり,\ 100,\ 200,\ 300,\ \cdots\ など無限にある. \\[.2zh] 10\leqq n\leqq99より90\leqq n(n-1)\leqq9702を考慮して有限にはなるが,\ しらみつぶしは現実的でない. \\[1zh] \bm{nとn-1が連続する2整数}であること,\ \bm{連続する2整数は互いに素}であることを利用する. \\[.2zh] これを自明としてよいかは微妙なので,\ 証明も簡潔に示しておいた. \\[.2zh] \bm{1より大きい公約数が存在すると仮定して矛盾を導く}という互いに素の証明(\bm{背理法})である. \\[1zh] 100=2^2\times5^2\,であり,\ 2と5は互いに素(最大公約数1)である. \\[.2zh] nは2桁の整数であるから,\ 2^2\,と5^2\,がすべてnとn-1の一方だけに分配される可能性はない. \\[.2zh] 2^2\,と5^2\,はそれぞれ,\ nとn-1のどちらか一方に分配されなければならない. \\[.2zh] つまり,\ \bm{(n,\ n-1)=(5^2a,\ 2^2b),\ (2^2a,\ 5^2b)}に限られるわけである. \\[.2zh] 後は,\ 10\leqq n\leqq99に注意しながら\bm{しらみつぶし}すればよい. \\[.2zh] このとき,\ 5^2=25の倍数を基準にすると最小限の考慮で済む. \\[.2zh] 2桁の25の倍数は3個しかないからである. \\[.2zh] \bm{nとn-1の一方を25の倍数としたとき,\ 他方が4の倍数になるものを探す}ことになる. \\[1zh] ちなみに,\ \ 25^2=625,\ \ 76^2=5776\ \ である. 一の位から順に特定する}}\,] \\[1zh]   求める2桁の自然数を\textcolor{cyan}{$n=10a+b\ (a,\ b:整数,\ 1\leqq a\leqq9,\ 0\leqq b\leqq9)$}とおく. \\[1zh]   $n^2=(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2=10(10a^2+2ab)+b^2$ \\[.2zh]   よって,\ \textcolor{magenta}{$n^2$の一の位は$b^2$の一の位に等しい.} \\[.2zh]   $b^2$の一の位と$b$が一致しなければならないから,\ \textcolor{red}{$b=0,\ 1,\ 5,\ 6$が必要}である. \\ 下2桁が一致するためには,\ それ以前に下1桁(一の位)が一致しなければならない. \\[.2zh] 2乗しても下1桁が変わらない1桁の数は,\ 0^2=0,\ 1^2=1,\ 5^2=25,\ 6^2=36のみである. \\[.2zh] この程度の記述でも十分だが,\ 十の位の特定も見越して数式で議論すると解答のようになる. \\[1zh] \bm{各桁の数に着目する問題では,\ 各桁の数を文字で設定し,\ それに10^n\,を掛けた和で自然数を表す.} \\[.2zh] また,\ \bm{一の位を考えることは10で割ったときの余りを考えること}である. \\[.2zh] よって,\ 10でくくれるだけくくり,\ 残りの部分の条件を考えればよいわけである. \\[1zh] 一の位が特定されれば,\ 次は十の位の特定である. \\[.2zh] 100でくくれるだけくくり,\ 残りの部分の条件を考えればよい. \\[.2zh] aに1から9までの値を代入し,\ 条件を満たすものを探すことになる.

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