pq,p²qの形で表される完全数と不定方程式

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正の約数の総和が自身の2倍になるような自然数}}を\textbf{\textcolor{blue}{完全数}}という. \\[.2zh] \hspace{.5zw}$p,\ q\ ()を異なる素数として,\ 以下の問いに答えよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $pq$の形で表される完全数を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $p^2q$の形で表される完全数を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $p^2q^2$の形で表される完全数が存在しないことを示せ.完全数と不定方程式}}}} \\\\  完全数はそれ自体興味を引くテーマであり,\ 入試でもたびたび関連事項が出題される. \\[.2zh]  本項では単に完全数を求める問題を取り扱う.\ 入試問題として適度な難易度である. \\[.2zh]  背景にはメルセンヌ素数やいくつかの定理があり,\ その証明については次項で取り扱う. \\\\\\ 正の約数の総和については,\ 場合の数分野で学習した公式を利用して求めるとよい. \\[1zh] 自然数NがN=p^kq^lr^m\,と素因数分解されるとする. \\[.2zh] \bm{正の約数の総和 (1+p+p^2+\cdots+p^k)(1+q+q^2+\cdots+q^l)(1+r+r^2+\cdots+r^m)} \\[1zh] p,\ qは素数であるから,\ pqの正の約数の総和は(1+p)(1+q)となる. \\[.2zh] これが元の数pqの2倍になればよく,\ 結局\bm{axy+bx+cy+d=0型の不定方程式}に帰着する. \\[.2zh] 無理矢理,\ (文字式)\times(文字式)=(整数)の形を作るのであった. \\[.2zh] p,\ qの範囲や大小関係を考慮すると,\ 組合せは1通りに絞られる. \\[1zh] 完全数の定義は,\ \bm{自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数}と言い換えられる. \\[.2zh] pqのpq以外の正の約数は1,\ p,\ qであるから,\ 1+p+q=pqと立式することもできる. \\[1zh] 1\,~\,5は完全数ではないから,\ \bm{6=1+2+3は最小の完全数}である. 初手は(1)と同じだが,\ 複雑な不定方程式となるため,\ 扱いに慣れていなければ対応が難しい. \\[.2zh] ここでは,\ 不定方程式において最も発想が自然である解答を2つ示した. \\[1zh] 本解は,\ 立式の段階ですでに\bm{(文字式)\times(文字式)=(整数)}の形になっている. \\[.2zh] 基本的には右辺が具体的な整数でなければ意味がないが,\ \bm{素数}ならば文字でも組合せが限定される. \\[.2zh] p,\ qは素数なので,\ 掛けて2p^2qとなる自然数の組合せは以下の12通りに限られる. さらに,\ 1+p+p^2,\ 1+qの範囲や大小関係を考慮すると,\ ほとんどの組合せが不適であるとわかる. \\[.2zh] 結局,\ (1+p+p^2,\ 1+q)=(q,\ 2p^2),\ (2q,\ p^2),\ (pq,\ 2p)を解けば十分である. \\[1zh] やや高度だが,\ \bm{互いに素(共通の素数の約数をもたない)の因数}に着目すると,\ より効率的に求まる. \\[.2zh] 1+p+p^2=1+p(p+1)は\dot{素}\dot{数}\,pで割り切れないから,\ 1+p+p^2\,とpは互いに素である. \\[.2zh] よって,\ 1+qはp^2\,の倍数であり,\ これを文字で設定して代入すればよい. \\[.2zh] 両辺をp^2\,(\neqq0)で割って整理すると,\ (文字式)\times(文字式)=(整数)に変形できる. \\[1zh] \bm{次数が低い文字について解き,\ それが整数となるための条件を追求する}方針も重要である(別解). \\ さらに,\ 分数式は\bm{(分子の次数)(分母の次数)}となるように変形するのが基本であった. \\[.2zh] 分子と分母の次数が等しいとき,\ \bm{分母と同じ形を無理矢理分子に作る}と分子の次数下げができる. \\ qは整数なので,\ \bunsuu{2(p+1)}{p^2-p-1}\,も整数とならなければならない. \\[.8zh] \bm{分数式が整数となるための必要条件は,\ (分子)=0\ または\ \zettaiti{\bunsuu{分子}{分母}}\geqq1}であった. \\[.8zh] \zettaiti{\bunsuu{分子}{分母}}\geqq1\,は,\ \bm{\zettaiti{分子}\geqq\zettaiti{分母}}\,とも考えられる. \\[.8zh] p^2-p-1>0,\ 2(p+1)>0より絶対値はそのままはずせ,\ 単なる2次不等式に帰着する. \\[1zh] 28=1+2+4+7+14は2番目の完全数である.\ この後,\ 496=2^4\cdot31,\ 8128=2^6\cdot127と続く. (1+p+p^2)(1+q+q^2)=2p^2q^2}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{$1+p+p^2,\ 1+q+q^2$はともに奇数}であるから,\ \textcolor{magenta}{右辺が偶数}であることと矛盾する.\bm{p^2q^2\,の形で表される完全数は存在しない.}$ 不定方程式の解が存在しないことの証明として,\ \bm{両辺の余りの不一致を示す}手法がよく用いられる. \\[.2zh] 本問の場合,\ 2で割ったときの余り,\ つまりは\bm{偶奇性に着目}すると容易に証明できる. \\[1zh] (偶数)+(偶数)=(偶数),\ (奇数)+(奇数)=(奇数)である. \\[.2zh] pが偶数でも奇数でもp+p^2\,は偶数であり,\ それゆえ1+p+p^2\,は奇数となる. \\[.2zh] 1+p+p^2=1+p(1+p)より,「\,\bm{p(1+p)は連続2整数の積なので偶数}」とするとスマートである.
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