pq,p²qの形で表される完全数と不定方程式

スポンサーリンク
正の約数の総和が自身の2倍になるような自然数を完全数という. $p,\ q\ ()を異なる素数として,\ 以下の問いに答えよ.$  (1)\ \ $pq$の形で表される完全数を求めよ.  (2)\ \ $p^2q$の形で表される完全数を求めよ.  (3)\ \ $p^2q^2$の形で表される完全数が存在しないことを示せ.完全数と不定方程式  完全数はそれ自体興味を引くテーマであり,\ 入試でもたびたび関連事項が出題される.  本項では単に完全数を求める問題を取り扱う.\ 入試問題として適度な難易度である.  背景にはメルセンヌ素数やいくつかの定理があり,\ その証明については次項で取り扱う. 正の約数の総和については,\ 場合の数分野で学習した公式を利用して求めるとよい. 自然数NがN=p^kq^lr^m\,と素因数分解されるとする. 正の約数の総和 (1+p+p^2+・・・+p^k)(1+q+q^2+・・・+q^l)(1+r+r^2+・・・+r^m)} p,\ qは素数であるから,\ pqの正の約数の総和は(1+p)(1+q)となる. これが元の数pqの2倍になればよく,\ 結局axy+bx+cy+d=0型の不定方程式}に帰着する. 無理矢理,\ (文字式)×(文字式)=(整数)の形を作るのであった. p,\ qの範囲や大小関係を考慮すると,\ 組合せは1通りに絞られる. 完全数の定義は,\ 自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数}と言い換えられる. pqのpq以外の正の約数は1,\ p,\ qであるから,\ 1+p+q=pqと立式することもできる. 1\,~\,5は完全数ではないから,\ 6=1+2+3は最小の完全数}である. 初手は(1)と同じだが,\ 複雑な不定方程式となるため,\ 扱いに慣れていなければ対応が難しい. ここでは,\ 不定方程式において最も発想が自然である解答を2つ示した. 本解は,\ 立式の段階ですでに(文字式)×(文字式)=(整数)}の形になっている. 基本的には右辺が具体的な整数でなければ意味がないが,\ 素数}ならば文字でも組合せが限定される. p,\ qは素数なので,\ 掛けて2p^2qとなる自然数の組合せは以下の12通りに限られる. さらに,\ 1+p+p^2,\ 1+qの範囲や大小関係を考慮すると,\ ほとんどの組合せが不適であるとわかる. 結局,\ (1+p+p^2,\ 1+q)=(q,\ 2p^2),\ (2q,\ p^2),\ (pq,\ 2p)を解けば十分である. やや高度だが,\ 互いに素(共通の素数の約数をもたない)の因数}に着目すると,\ より効率的に求まる. 1+p+p^2=1+p(p+1)は\dot{素}\dot{数}\,pで割り切れないから,\ 1+p+p^2\,とpは互いに素である. よって,\ 1+qはp^2\,の倍数であり,\ これを文字で設定して代入すればよい. 両辺をp^2\,(≠0)で割って整理すると,\ (文字式)×(文字式)=(整数)に変形できる. 次数が低い文字について解き,\ それが整数となるための条件を追求する}方針も重要である(別解). \\ さらに,\ 分数式は(分子の次数)(分母の次数)}となるように変形するのが基本であった. 分子と分母の次数が等しいとき,\ 分母と同じ形を無理矢理分子に作る}と分子の次数下げができる. \\ qは整数なので,\ 2(p+1)}{p^2-p-1}\,も整数とならなければならない. 分数式が整数となるための必要条件は,\ (分子)=0\ または\ 分子}{分母≧1}であった. 分子}{分母≧1\,は,\ 分子}≧分母\,とも考えられる. p^2-p-1>0,\ 2(p+1)>0より絶対値はそのままはずせ,\ 単なる2次不等式に帰着する. 28=1+2+4+7+14は2番目の完全数である.\ この後,\ 496=2^4・31,\ 8128=2^6・127と続く. (1+p+p^2)(1+q+q^2)=2p^2q^2}$ $1+p+p^2,\ 1+q+q^2$はともに奇数}であるから,\ 右辺が偶数}であることと矛盾する.p^2q^2\,の形で表される完全数は存在しない.}$ 不定方程式の解が存在しないことの証明として,\ 両辺の余りの不一致を示す}手法がよく用いられる. 本問の場合,\ 2で割ったときの余り,\ つまりは偶奇性に着目}すると容易に証明できる. (偶数)+(偶数)=(偶数),\ (奇数)+(奇数)=(奇数)である. pが偶数でも奇数でもp+p^2\,は偶数であり,\ それゆえ1+p+p^2\,は奇数となる. 1+p+p^2=1+p(1+p)より,「\,p(1+p)は連続2整数の積なので偶数}」とするとスマートである.
スポンサーリンク
スポンサーリンク
高校数学A 整数
シェアする
受験の月をフォローする