ペル方程式x²-Dy²=±1の解の構造

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以下2条件を満たす任意整数$x,\ y$から得られる実数$x+y\ruizyoukon 2$全体の集合を$G$とする. \\[.5zh] \hspace{.5zw}  (A)\ \ $x^2-2y^2=1$\ \ または\ \ $x^2-2y^2=-\,1$    \hspace{.5zw}また,\ 1より大きい$G$の要素のうち最小のものを$u$とする.示し,\ $u$を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 任意の2数$\alpha,\ \beta\in G$に対して,\ $\alpha\beta\in G$が成り立つことを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 任意の整数$n$に対して,\ $u^n\in G$が成り立つことを示せ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 逆に,\ 任意の数$g\in G$が$g=u^n\ (n:整数)$の形で表せることを示せ. \\ ペル方程式の解の構造}}}} \\\\[.5zh]  \scalebox{.96}[1]{ペル方程式\textcolor{magenta}{$x^2-Dy^2=\pm\,1\ (D:平方数ではない自然数)$}の解の構造に関する証明問題である.} \\[.2zh]  本問から,\ \textcolor{blue}{$x^2-2y^2=\pm\,1$のすべての解が$(1+\ruizyoukon2\,)^n$で作り出せる}ことがわかる. \\\\\\ ペル方程式はその対称性より,場合のみを考察対象とすれば十分なのであった. \\[.2zh] この条件がと言い換えることができることの証明である. \\[1zh] \Longleftarrow\ は,\ まず\bm{共役な無理数x-y\ruizyoukon 2\,の範囲を考え,\ 2つの不等式を合体させる}とよい. \\[.2zh] 不等式の場合,\ 必ず\bm{和として合体させる}必要があることに注意する. \\[1zh] 明らかにx,\ yの値が小さいほどx+y\ruizyoukon2\,の値が小さい.\ 試しにx=y=1とすると条件を満たす. \\[1zh] を満たす解の中でx+y\ruizyoukon D\,を最小にする解を\bm{x^2-Dy^2=\pm\,1の最小解}という. 本問は,\ \bm{\alpha,\ \beta\,がGの要素であるとき,\ その積\,\alpha\beta\,もGの要素となる}ことの証明である. \\[.2zh] \alpha,\ \beta\,を文字で設定して\,\alpha\beta\,を計算し,\ 集合Gの要素であるための条件を満たすかを確認すればよい. \\[.2zh] つまり,\ \alpha\beta=A+B\ruizyoukon2\,のとき,\ A^2-2B^2=\pm\,1,\ \ \alpha\beta=A+B\ruizyoukon2>0\ を満たすことを確認する. 一般に,\ 指数法則 (1+\ruizyoukon2\,)^n\,を計算していくことで,\ x^2-2y^2=\pm\,1の解を次々と作り出せるわけである. \\[1zh] (2)より,\ u\in Gのときu\cdot u=u^2\in Gが成り立つ.\ よって,\ u^2\cdot u=u^3\in Gも成り立つ. \\[.2zh] これを繰り返せば,\ u^n\in G\ (n\geqq1)となるのはほぼ明らかであろう. \\[1zh] nは任意の整数であるから,\ nが負数の場合も考慮しなければならない. \\[.2zh] u^{-1}\in Gさえ確認すれば,\ n\leqq-\,2のときはu^{-1}\,の自然数乗として直ちに示される. g=u^n$の形で表せない$g\in G$が存在すると仮定}する. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $u>1$より$\{u^n\}$は単調増加数列なので,\ \textcolor{cyan}{$u^k0を満たすものが\dot{す}\dot{べ}\dot{て}得られる}とわかる. \\[.2zh] よって,\ \bm{x^2-2y^2=\pm\,1の解のすべてが\pm u^n\,から得られる.} \\[1zh] nを自然数とし,\ (1+\ruizyoukon2\,)^n=x_n+y_n\ruizyoukon 2\ (x_n,\ y_n:自然数)とする. \\[.2zh] このとき,\ (1-\ruizyoukon2)^n=x_n-y_n\ruizyoukon2\ と表されるのであった. \\[.2zh] この2式を連立すると,\ x^2-2y^2=\pm\,1の\dot{す}\dot{べ}\dot{て}の自然数解(自然数の一般解)が得られる. \bm{背理法}で証明するのがわかりやすい. となる(数\text{I\hspace{-.1em}I}:指数関数). \\[.2zh] g=u^n\,とならないのであれば,\ gはどこかの間にあるはずである.\ 後の矛盾の示し方は定石である.
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