約数の個数と総和、約数の対称性と総積、平方数であることの証明

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約数の個数と総和と総積}N=p^kq^lr^m}}$と素因数分解されるとする. {Nの正の約数の個数}}  \bm{\textcolor{red}{(k+1)(l+1)(m+1)}}{Nの正の約数の総和}}Nの正の約数の対称性と総積}}$ [1]\ \ 素因数が3種類の場合の例だが,\ 何種類であって同様である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 応用問題にも対応するには,\ 公式丸暗記ではなく原理を理解しておく必要がある. \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ 簡単な例として,\ 12=2^2\cdot3\ の約数の個数を求めるとしよう. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 12の約数は,\ 2が2個,\ 3が1個ある中から素因数を取り出して作られる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ つまり,\ 約数の個数は素因数の取り出し方が何通りあるかに等しい. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{2の取り出し方は,\ 2を0個,\ 1個,\ 2個の3通り}がある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{3の取り出し方は,\ 3を0個,\ 1個の2通り}がある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ 取り出し方の総数(約数の個数)は\ \bm{3\cdot2=6\ 通り}である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 具体的に書き出すと下表のようになる.\ なお,\ 一般にa^0=1とする決まりである. \\これを一般化すると,\ p^kq^lr^mの約数の個数もわかる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 素因数pの取り出し方は,\ 0個,\ 1個,\ \cdots,\ k個のk+1通りある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 同様に,\ qの取り出し方はl+1通り,\ rの取り出し方はm+1通りある. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ 取り出し方の総数(約数の個数)は(k+1)(l+1)(m+1)通りである. \\[1zh] [2]\ \ 約数の総和の規則性を,\ 12=2^2\cdot3を例として探ろう. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 実際に6個の約数を\bm{素因数の形のまま足してみる}と,\ \bm{因数分解できる}ことがわかる. \ \phantom{[1]}\ \ これを一般化し,\ さらにa^0=1としたのが上で示した式である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 数\text{B}:数列の知識があれば,\ 括弧内の和をまとめることができる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和 \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1} \\\\ \text{[3]}\ \ 約数の定義より,\ N=pqにおいてpがNの約数のときqもNの約数である. \\[.2zh] \phantom{[4]}\ \ つまり,\ \bm{Nの約数には掛けてNになるペアが存在する.} \\[.2zh] \phantom{[4]}\ \ ただし,\ \bm{平方数(2乗数)の場合のみ約数が奇数個}となり,\ ペアがない中央の約数が存在する. \\[.2zh] \phantom{[4]}\ \ \bm{Nの約数の総積は,\ この掛けてNになるペアを利用して求める}とよい. \\[.2zh] \phantom{[4]}\ \ N=30のときの総積は,\ 30\times4ではないことに注意!\ 30\times4=30+30+30+30である. \\[.2zh] 540の正の約数の個数と総和と総積を求めよ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}また,\ 正の偶数の約数の個数と総和,\ 正の奇数の約数の個数と総和を求めよ. \\ 個数と総和は公式を適用するだけである. \\[.2zh] 約数の個数は24個であるから,\ \bm{掛けて540になる約数のペアが24\div2=12組}ある. \\[1zh] 原理を理解していれば,\ 偶数や奇数などの条件がついても対応できる. \\[.2zh] 約数が偶数になるか奇数になるかは,\ 2^2\cdot3^3\cdot5^1\,から\bm{素因数2を取り出すか否か}で決まる. \\[.2zh] 偶数の約数となる場合,\ \bm{2の取り出し方は1個か2個の2通り}となる. \\[.2zh] 総和においても,\ 2^0\,を含まない約数の和を求めればよい. \\[.2zh] 逆に,\ 奇数の約数となる場合,\ \bm{2の取り出し方は0個の1通り}である. \\[1zh] 当然,\ 偶数の約数のときと奇数の約数のときの合計はすべての約数のときの値と一致する. $200以下の自然数のうち,\ 約数が10個であるものをすべて求めよ.$ \\ p,\ qを異なる素数}とすると,\ 求める数は\ \textcolor{red}{p^9}\ または\ \textcolor{red}{p^4q}\ とおける.$ 単に約数の個数や総和を求めるだけでは,\ 簡単すぎて試験問題として成り立ちにくい. \\[.2zh] 実際の試験では,\ 約数の個数から逆に元の整数を求められるかを問われることが多い. \\[1zh] 約数の個数の公式を逆に利用するため,\ まず\bm{10を積の形で表す}. \\[.2zh] 10は2つの数の積として順序を無視すると2通りに表される. \\[.2zh] 素因数分解すると\ p^k\cdot q^l\ となる数の約数の個数は (k+1)(l+1)\ (個) \\[.2zh] 逆に考えると,\ 約数が10個となる数は\ \bm{p^9\cdot q^0,\ \ p^4\cdot q^1}\ (p,\ q:異なる素数)と表せるはずである. \\[1zh] 後は,\ 200以下となるものを,\ p,\ qが異なる素数であることに注意して\bm{しらみつぶし}すればよい. 自然数Nは,\ 次のように素因数分解できるとする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$  N=p^k\cdot q^l\cdot r^m\ \ (p,\ q,\ r:互いに異なる素数\ ;\ k,\ l,\ m:自然数)$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$自然数Nの約数の個数が奇数個ならば,\ Nは平方数であることを示せ.$ \\   $Nの約数の個数は \textcolor{cyan}{(k+1)(l+1)(m+1)}\ (個)$ \\[.5zh]   $(k+1)(l+1)(m+1)\ が奇数のとき,\ k+1,\ l+1,\ m+1は全て奇数である.$ \\[.2zh]   $よって,\ \textcolor{red}{k,\ l,\ mは偶数}である.$ \\[1zh] 公式で約数の個数を求めると,\ 積が奇数となることから\bm{各因数がすべて奇数}であるとわかる. \\[.2zh] さらにk,\ l,\ mが偶数であるとわかるので,\ この\bm{条件を数式に変換}する. \\[.2zh] \bm{既存の文字を消去}すると2乗の形に変形でき,\ 平方数であることが示される. \\[1zh] 本問を逆に辿ると,\ 「\,Nは平方数ならば,\ 自然数Nの約数の個数が奇数個」も容易に示される. \\[.2zh] Nが平方数ならばk,\ l,\ mは偶数であり,\ このとき(k+1)(l+1)(m+1)は奇数である. \\[1zh] 結局,\ 以下の関係が一般的に成立する. 約数の個数が奇数個\ \Longleftrightarrow\ 平方数 \\[.2zh] 約数の個数が偶数個\ \Longleftrightarrow\ 平方数でない

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