約数の個数と総和、平方数であることの証明

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素因数分解されるとする.  $$ ${Nの正の約数の個数   $$ ${Nの正の約数の総和 素因数が3種類の場合の例だが,\ 何種類でも同様の規則で求められる. 一旦具体例を考えてから,\ 一般的な法則を導こう. 例として,\ 12=2²3\ の約数の個数と総和を求めるとする. 12の約数は,\ 2が2個,\ 3が1個ある中から素因数を取り出して作られる. {2の取り出し方は0個,\ 1個,\ 2個の3通り}がある. {3の取り出し方は0個,\ 1個の2通り}がある. [-1.5zh] よって,\ 約数の個数は\ {32=6\ 通り}である.  具体的に書き出すと,\ 右表のようになる. これを一般化すると,\ p^kq^lr^mの約数の個数もわかる. 素因数pの取り出し方は,\ 0個,\ 1個,\ ,\ k個のk+1通りある. 同様に,\ qの取り出し方はl+1通り,\ rの取り出し方はm+1通りある. よって,\ 全部で(k+1)(l+1)(m+1)通りあり,\ それが約数の個数である. 約数の総和の規則性を探るため,\ 全て{素因数の形で足してみる.} このように因数分解でき,\ 一般化するとp^kq^lr^mの約数の総和となる. a^0=1\ も考慮すると,\ 総和はのように表される. 括弧内は等比数列の和なので,\ 等比数列の和の公式(数列)でまとめられる. 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和   $約数の個数は (2+1)(3+1)(1+1)}={24\ (個)}$  $約数の総和は 200以下の自然数のうち,\ 約数が10個であるものをすべて求めよ.$ p,\ qを異なる素数}とすると,\ 求める数は\ p^9}\ または\ p⁴q}\ とおける.$  このように表される数の中で,\ 200以下の自然数となるものをすべて求める. 約数の個数の公式を利用するため,\ {10を積の形で表す}. 10は2つの数の積として2通りに表される. 素因数分解すると\ p^k q^l\ となる数の約数の個数は (k+1)(l+1)\ (個) これを逆に考えると,\ 約数が10個となる数は {p^9 q^0,p⁴ q^1} 後は,\ 条件を満たすものを{小さい素数から順にしらみつぶし}をして探す. p=2のとき,\ 2^9=512となるから,\ 200以下の自然数の中にp^9となるものはない. $自然数Nは,\ 次のように素因数分解できるとする.$ $  N=p^k q^l r^m(p,\ q,\ r:互いに異なる素数\ ;\ k,\ l,\ m:自然数)$ $自然数Nの約数の個数が奇数個ならば,\ Nは平方数であることを示せ.$  $Nの約数の個数は (k+1)(l+1)(m+1)}\ (個)$  $(k+1)(l+1)(m+1)\ が奇数のとき,\ k+1,\ l+1,\ m+1は全て奇数である.$  $よって,\ k,\ l,\ mは偶数}である. まず,\ 公式を用いて約数の個数を求める. 積が奇数となることから,\ {各因数が全て奇数}であるとわかる. さらに,\ +1が奇数であることから,\ {元の指数が偶数}であるとわかる. 偶数であることが判明したので,\ この{条件を数式に変換}する. {既存の文字を消去}すると,\ 2乗の形に変形でき,\ 平方数であることが示される. 次の関係が一般的に成立することを知っておくとよい.   { 約数の個数が奇数個平方数 約数の個数が偶数個平方数でない
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