実数$x$に対して,\ $x$を超えない最大の整数を$\gauss x$で表す. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 実数$x$に対して,\ [x]+[x+1/3]+[x+2/3]=[3x] が成り立つことを示せ. \\\\ \hspace{.5zw} (2)\ \ 実数$x$,\ 自然数$n$に対して,\ 次の式が成り立つことを示せエルミートの恒等式の証明} 入試頻出の恒等式である.\ 実数xを\bm{整数部分mと小数部分\,\alpha\,に分割}して考える. \\[.2zh] 整数mはガウス記号の外に出せる. のガウス記号をはずせるかが問われることになる. \\\\ ガウス記号の定義より,\ \bm{\gauss{A}がとる値は,\ Aが整数になるところを境にして変化する.} \\[.2zh] 0\leqq\alpha<1を考慮すると,\ \alpha+\bunsuu13,\ \alpha+\bunsuu23\,がとりうる整数値は1のみである. \\[.8zh] それぞれ,\ \alpha=\bunsuu23,\ \alpha=\bunsuu13\ のときであるから,\ これを境に場合分けすればよい. 続いて,\ 右辺について考える.\ \ 0\leqq3\alpha<3より,\ 3\alpha\,がとりうる整数値は0,\ 1,\ 2である. \\[.2zh] それぞれ,\ \alpha=0,\ \bunsuu13,\ \bunsuu23\ のときであるから,\ これを境に場合分けすればよい. \\[.8zh] 結局,\ \bm{左辺と右辺で同じ場合分けをする}ことになり,\ どの場合も左辺と右辺が一致する. (1)を一般化したものであり,\ \bm{エルミートの恒等式}と呼ばれる. \\[1zh] (1)で問題の構造が理解できていれば,\ 全く同様にして解答できる. \\[.2zh] \bunsuu1n,\ \bunsuu2n,\ \cdots,\ \bunsuu{n-1}{n}\,が境目になるので,\ 普通に場合分けすると,\ n通りの場合分けになる. \\[.8zh] k=1,\ 2,\ \cdots,\ nとし,\ n通りをまとめて\,\bunsuu{k-1}{n}\leqq\alpha<\bunsuu kn\,とした場合を示せば十分である. \\[.8zh] ここでは,\ わかりやすさを重視して具体的な場合も示しておいた. \\[1zh]
