整数に関する除法の原理}} \\[1zh] $整数aと自然数bに対して,\ 次を満たす整数q,\ rが\bm{\textcolor{red}{ただ一組存在する.}}$ \\[.5zh] 整数$q,\ r$をそれぞれ,\ $aをbで割ったときの\bm{\textcolor{blue}{商}}(\text{quotient}),\ \bm{\textcolor{blue}{余り}}(\text{remainder})$という. \\[1zh] 特に$r=0$のとき,\ $\bm{\textcolor{blue}{aはbで割り切れる}}$という. \\\\ \syoumei \\[1zh] [\,存在性\,] \\[.5zh] 以下のように,\ 数直線を$b$の倍数を境に分割する. \\[.5zh] このとき,\ 任意の整数$a$はいずれかの範囲に属する. \\[.2zh] よって,\ $qb\leqq a<(q+1)b$を満たす整数$q$が存在する. \\[.2zh] [\,唯一性\,] \\[.5zh] $a=qb+r$と表せる整数$q,\ r$が2通りあると仮定し,\ 次のようにおく. \\[.5zh] a=qb+r,\ \bm{整数の割り算について成り立つ等式}である. \\[.2zh] 例えば,\ 日本語「\,7を2で割ると商3,\ 余り1\,」は,\ 和と積のみの等式「\,7=3\cdot2+1\,」で表せる. \\[.2zh] また,\ その\bm{表し方がただ1通り}である点が重要である. \\[1zh] -\,5を2で割ったときの余りを,\ 等式を作成することで求めてみよう. \\[.2zh] -\,5=○\cdot2+□\ に入る整数を考えると,\ -\,5=-\,3\cdot2+1\ より,\ 商-3,\ 余り1である(正解). \\[.2zh] -\,5=-\,2\cdot2-1\ より,\ 商-2,\ 余り-1とするのは\bm{間違い}である. \\[.2zh] 余りrには条件\bm{0\leqq r<2}がある.\ つまり,\ \bm{2で割ったときの余りは0か1}でなければならない. \\[.2zh]
\bm{rの範囲が限定されているからこそ,\ a=bq+r\ がただ一通りに表される}のである. \\[1zh]
上級者は証明も確認しておいてほしい. \\[.2zh]
この過程を逆に辿ったのが存在性の証明である. \\[.2zh]
唯一性の証明は,\ 2通りを文字で設定し,\ それが等しいことを示すものである. \\[.2zh]
この手法は,\ ただ1つであることの証明方法としてよく用いられる.
\hspace{.5zw}$4で割ると商q,\ 余り3となる自然数mと,\ 6で割ると商q,\ 余り2となる自然数nが$ \\[.2zh]
\hspace{.5zw}$あるとき,\ 3m+4nを12で割ったときの余りを求めよ.$ \\
文字m,\ nを実際に割り算することはできず,\ \bm{割り算について成り立つ等式を作る}ことになる. \\[.2zh]
これを3m+4nに代入して計算し,\ \bm{12をできる限りくくりだす}と12で割ったときの余りが求まる. \\[.2zh]
このとき,\ 36q+17=12\cdot3q+17\ より,\ 余り17と答えるのは\bm{誤り}である. \\[.2zh]
12で割ったときの余りは,\ \bm{0\leqq r12}を満たす整数rでなければならない. \\[.2zh]
よって,\ 36q+17=36q+12+5=12(3q+1)+5\ のように変形することになる.
