整数の除法、除法の原理 a=qb+r (0≦r<b)

除法の原理整数aと自然数bに対して}$ {a=qb+r   ${を満たす整数q,\ rがただ一通り}に定まる.}$ qをaをbで割ったときの{商}(quotient}),\ rを{余り}(remainder})という. 要は,\ {整数の割り算について成り立つ等式}である. 例えば,\ 日本語「7を2で割ると商3,\ 余り1」を数式「7=32+1」にできる. この表現ならば,\ 72=31のように,\ などと書かずに済む. ここで,\ -5を2で割ったときの余りを,\ 等式を作成することで求めてみよう. -5=-32+1\ とできるから余りは1である(正解). -5=-22-1より,\ 余りは-1とする{間違い}が多い. {条件\ 0 \ があるから,\ {2で割ったときの余りは0か1}である. {rの範囲があるからこそ,\ a=bq+r\ がただ一通りに表される}のである. 4で割ると商q,\ 余り3となる自然数mと,\ 6で割ると商q,\ 余り2とな$ $る自然数nがあるとき,\ 3m+4nを12で割ったときの余りを求めよ.$ m=4q+3,n=6q+2} 除法の原理を用いる典型的な問題である. m,\ nは文字であるから,\ 実際に割り算することができない. この場合,\ 割り算について成り立つ等式を作ることになるのである. とにかく,\ 「4で割ると商q,\ 余り3」「6で割ると商q,\ 余り2」を{数式に変換}する. これを3m+4nに代入して計算し,\ {12をできる限りくくりだす}と余りが求まる. 12でくくりだした部分は12で割り切れるからである. このとき,\ 36q+17=123q+17\ より,\ 余り17と答えるのは{間違い}である. 12で割った余りであるから,\ で答えなければならない. よって,\ 36q+17=36q+{12+5}=12(3q+1)+5\ のように変形することになる.
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