直線・放物線上の格子点と有理点の存在性

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x,\ y$座標がともに整数の点を格子点,\ ともに有理数の点を有理点という. \\[.2zh] \hspace{.5zw}以下を証明せよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $y=\bunsuu23x+\bunsuu13$上に無限に多くの格子点が存在する. \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $y=\bunsuu12x+\bunsuu13$上の格子点は存在しない. \\[1zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $y=\ruizyoukon2x+1$上にただ1つの有理点が存在する. \\[1zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $y=\ruizyoukon2x+\ruizyoukon3$上の有理点は存在しない. \\[1zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ $y=\bunsuu12x^2+\bunsuu13x$上に無限に多くの格子点が存在する. \\[1zh] 直線・放物線上の格子点と有理点の存在性}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ \textbf{無限に多くの格子点$\bm{(x,\ y)=(3k+1,\ 2k+1)\ (k:整数)}$が存在する.} \\\\[1zh]  (2)\ \ \textcolor{cyan}{$x,\ y$を整数}と仮定すると,\ \textcolor{red}{$2y-x=\bunsuu23$の左辺は整数で右辺は整数ではないので矛盾.}有理数}と仮定する. $の左辺は有理数,\ 右辺は無理数なので矛盾}である.の有理点は存在しない.}$} \\\\[1zh]  (5)\ \ \textbf{無限に多くの格子点$\bm{(x,\ y)=(6k,\ 18k^2+2k)\ (k:整数)}$が存在する.} \\\\\\ (1)\ \ 直線上の格子点は,\ 数式的には\bm{1次不定方程式ax+by=cの整数解}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a,\ bが互いに素であるとき,\ ax+by=cは無数の整数解をもつのであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{a,\ bが互いに素であるとき,\ 直線ax+by=c上に無限に多くの格子点が存在する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分母をはらうと2x-3y=-\,1で,\ 2,\ 3は互いに素なので,\ 無限に多くの格子点が存在する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 高校数学に限れば,\ \bm{「存在を示せ」は「求めよ」に等しい}ことが多いのでビビる必要は無い. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 普通に2x-3y=-\,1の整数解を求めるだけで証明できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 特殊解(1,\ 1)を用いると2(x-1)=3(y-1)となるから,\ x-1=3k,\ y-1=2kである. \\[1zh] (2)\ \ x,\ yを整数と仮定して矛盾を示す(\bm{背理法}). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 3(x-2y)=-\,2と変形してもよい.\ 左辺は3の倍数,\ 右辺は3の倍数ではないから矛盾である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 当然だが,\ 有理点は\left(0,\ \bunsuu13\right)など無数に存在する. \\[1zh] (3)\ \ \ruizyoukon2\,が無理数であることに着目して矛盾を示す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (分母)\neqq0より,\ 必然的にx=0を場合分けすることになる.\ 格子点(0,\ 1)が存在するとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{有理点は格子点を包含する}から,\ 格子点が存在するならば有理点が存在することになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ もしy=\ruizyoukon2x+\bunsuu12\,ならば,\ 格子点ではないただ1つの有理点\left(0,\ \bunsuu12\right)が存在する. \\\\ (5)\ \ y=\bunsuu{x(3x+2)}{6}\,より,\ 明らかにxが6の倍数のときyも整数となる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ x=6kとすると,\ 無限に多くの整数解を具体的に示すことができる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (6k,\ 18k^2+2k)以外の整数解が存在するかや何かまでを考える必要は無い. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 練習のため,\ (6k,\ 18k^2+2k)以外の整数解の可能性を考慮してみる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 3x+2は3で割ると2余る数なので,\ 3x+2が6の倍数や3の倍数となることはない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ xが3の倍数かつ3x+2が2の倍数の場合,\ x=3l,\ 3x+2=2mとおける. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき 9l=2(m-1)   よって\ \ l=2k   結局,\ この場合もx=3l=6kとなる. 直線$\ell$上に格子点が2個あるとき,\ 無限に多くの格子点があることを示せ.   直線$\ell$上の2個の格子点を$(x,\ y)=(p,\ q),\ (r,\ s)$とする. \\\\   [1]\ \ $\textcolor{forestgreen}{p=r}$のとき 直線$\ell$の方程式は$\textcolor{red}{x=p}$であり,\ これは$y$軸と平行な直線である. \\[.5zh] \phantom{  [1]}\ \ \phantom{$p=r$のとき} よって,\ \textbf{$\bm{\ell}$上に無限に多くの格子点$\bm{(p,\ k)\ (k:整数)}$が存在す \phantom{  [1]}\ \  直線$\ell$の方程式を$y=ax+b\ (a,\ b:実数)$とおく. \\[.2zh] \phantom{  [1]}\ \  $q=ap+b,\ \ s=ar+b$\ より $a=\bunsuu{q-s}{p-r},\ \ b=\bunsuu{ps-rq}{p-r}$ \\[.5zh] \phantom{  [1]}\ \  このとき,\ 直線$\ell$の方程式は \ \ $\textcolor{red}{y=\bunsuu{q-s}{p-r}x+\bunsuu{ps-rq}{p-r}}$ 上に無限に多くの格子点$\bm{(p+k(p-r),\ q+k(q-s))\ (k:整数)}$が存在する.} 格子点を文字で設定して直線\,\ell\,の方程式を求め,\ \ell\,上に無限にある格子点を具体的に示せばよい. \\[.2zh] 2点を通る直線の式は数\text{I\hspace{-.1em}I}で高校生用の求め方を学習するが,\ ここでは中学生的に求めた. \\[.2zh] \bm{y軸に平行な直線の方程式だけはy=ax+bの形で表せない}ことに注意する. \\[1zh] p\neqq rのときの格子点は,\ 図形的観点でも見つけられる.\ 直線上の格子点は等間隔で並んでいる. x座標の間隔は2なので,\ x=1を基準として他の格子点のx座標をx=1+2k\ (k:整数)と表せる. \\[.2zh] 数\text B:数列の知識を借りれば,\ 初項1,\ 公差2の等差数列をなしているというだけである. \\[.2zh] 本問の場合,\ x座標の間隔がp-rなので,\ x=pを基準としてx=p+k(p-r)と表せる. \ もちろん,\ ax+by=c型の不定方程式(q-s)x-(p-r)y=rq-psとして解いてもよい.
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