剰余類と素数の分布、三つ子素数が1組しかないことの証明

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(n,n+2,n+4)を三つ子素数とするのが自然だが、(3,5,7)しかないので、(n,n+2,n+6)や(n,n+4,n+6)の組も三つ子素数という。

三つ子素数には双子素数、いとこ素数、セクシー素数が含まれる。

参考:三つ子素数|Wikipedia

1と自分自身以外の正の約数をもたない数である.  よって,\ 2の倍数や3の倍数を避けるように分布しているはずである.  ゆえに,\ 剰余類で場合分けすると,\ 素数の分布の一端が垣間見えるのである.  もちろん,\ 5の倍数でも7の倍数でもないが,\ 通常は3までの考慮で済む. pを3より大きい素数とする.\ pとp+2がともに素数のとき,\ p+1は$ $6の倍数となることを示せ.$ pは,\ 3より大きい素数であるから,\ 奇数}である.$  よって,\ $pとp+2が奇数}となるから,\ p+1は偶数}である.$  また,\ $p,\ p+1,\ p+2は,\ 連続する3整数}である.$  よって,\ 少なくとも1つは3の倍数}である.  ここで,\ $p,\ p+2は3より大きい素数であるから,\ 3の倍数ではない.$  ゆえに,\ $p+1は3の倍数}であり,\ 偶数でもあるから,\ {6の倍数である.} 素数を偶奇で考えた場合,\ {偶素数は2のみ}である. このことを用いると,\ 2を法とする剰余類は考えるまでもない. よって,\ 素数の分布では,\ {3の倍数に着目することがポイント}になることが多い. {奇素数を前提として,\ さらに3を法とする剰余類を考慮する}のである. 本問は,\ 文字を用いて場合分けせずとも,\ 言葉で記述しておくだけで済む. 5以上の素数は,\ ある自然数nを用いて6n+1または6n-1の形で表さ$ $れることを示せ.                   \ [千葉大学]$  すべての整数は,\ $6n,6n1,6n2,6n+3}\ と表される.$  ここで,\ $6n,\ 6n2\ は2の倍数,6n+3\ は3の倍数}である.$ $ {5以上の素数は,\ 6n1\ で表される.}$ 6n1\ は,\ 6で割ったときの余りを表す式である. {6を法とする6つの剰余類}を考えると,\ 4つは2の倍数と3の倍数である. 6n=2(3n),6n2=2(3n1),6n+3=3(2n+1)\ だからである. 逆に言えば,\ 2の倍数でも3の倍数でもない6n1しか素数になりえない. 同様に,\ 4を法とすると,\ {3以上の素数は4n1で表される}ことなどもわかる. また,\ 6n1などは,\ {等差数列の一般項}とみることができる. これは,\ 5以上の素数が等差数列6n1の中に現れることを意味している. 前問は,\ 「6n1\ がともに素数のとき,\ 間は6nなので6の倍数」であった. nを自然数とする.n,\ n+2,\ n+4がすべて素数であるのはn=3の$ $場合だけであることを示せ.             [早稲田大学]$  $n=3\ のとき (n,\ n+2,\ n+4)=(3,\ 5,\ 7)\ より,\ すべて素数である.$ n4}\ のときを考える.$  $(.14zw}i.14zw})}\ n=3k}\ (k:整数)のとき$     $nは3の倍数}であり,\ 素数ではない.$  $(ii)}\ n=3k+1}\ (k:整数)のとき$     $n+2=(3k+1)+2=3k+3=3}(k+1)$     $よって,\ n+2は3の倍数}であり,\ 素数ではない.$ n=3k-1}\ (k:整数)のとき$     $n+4=(3k-1)+4=3k+3=3}(k+1)$     $よって,\ n+4は3の倍数}であり,\ 素数ではない.$ $ {すべて素数であるのは,\ n=3\ のときだけである.}$} いきなりこの解答が書けるのは,\ あらかじめ知識を持っている人だけである. 実際には,\ まず{具体的に実験して法則を自分で見つける}必要がある 本問の意図は,\ n=3以外の場合に{素数になりえない理由の追求}である. 実験から,\ 次の2点に気づきたい. nが偶数ならば,\ すべて偶数となり,\ 素数ではない. nが奇数ならば,\ どれか1つが3の倍数となるから,\ すべてが素数とはいえない. よって,\ nが偶数のときと奇数のときに場合を分けることが思い浮かぶ. しかし,\ よく見ると,\ {「すべてのnに対し,\ 少なくとも1つが3の倍数」}である. ゆえに,\ 偶奇で分けずに,\ 少なくとも1つが3の倍数となることを示せばよい. もちろん,\ {3を法とする剰余類で場合分け}する.\ 合同式を用いると次のようになる. {n,\ n+2,\ n+4は1つおき(差が2)の整数}である. 一般に,\ 差が2の2つの素数の組を双子素数という.  (5,\ 7),\ (7,\ 11) 双子素数は無限に存在すると予想されているが,\ 2014年現在証明されていない. 本問は,\ 差が2の3つの整数の組は(3,\ 5,\ 7)しか存在しないことを主張している.
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