(a+√b)nと(a-√b)nの共役性

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本項目は発展的な内容で、数B:数列の漸化式の知識を要します。

自然数nに対し,\ と表す.$ $数列a_n},\ b_n}の一般項を求めよ. が3の倍数であることを示せ.$ $ある自然数mを用いて, と表せること の整数部分が奇数であることを示せ.$  ${共役性} A,\ Bは自然数)\ と表せる.$ 初項2-3,\ 公比2-3\ の等比数列}である.$ 決まりきったパターンとして{解法を丸ごと暗記}しよう.\ 相当な慣れを要する. (23)^n\ ではなく,\ {a_n b_n3\ を主役にして考える.} まず,\ {漸化式を作成}するために,\ a_{n+1},\ b_{n+1}\ と\ a_n,\ b_n\ の関係を求める.うまく利用する. a_{n+1},\ b_{n+1}\ をa_n,\ b_nで表した後,\ {3\ について整理し,\ 係数を比較}すればよい. 次に,\ a_{n+1}-b_{n+1}3\ を計算する. {a_nとb_nについて整理}し,\ うまく因数分解すると,\ 必ず{a_n-b_n3\ の形が表れる.} a_n-b_n3=c_n\ と考える. c_{n+1}=(2-3)c_n\ であるから,\ {等比数列型の漸化式}となっている. 後は等比数列の一般項として求めれば,\ 共役な形になることがわかる. a_nとb_nの連立方程式とみて解くだけである.\ 共役性より,\ 思いの外素早く求まる. の連立漸化式をまともに解く必要はない. 結果の形はかなり複雑だが,\ {a_n,\ b_nの正体は自然数}であることを意識しておこう. b_nは自然数であるから,\ a_n}²-1\ は3の倍数}である. {a_n}²\ を作り出すために{積を考える}と,\ ここでも共役性が生きてくる. ここで,\ a_nは自然数であるから,\ {a_n}²=m}\ とおける. 無理矢理な変形が必要であり,\ パターンとして暗記していなければ気付かない. で導かれた等式を用いてb_nを消去し,\ {a_n}²をmに置き換えればよい. mを用いた表現も共役性が保たれている2a_n\ は偶数}である(2+3)^n\ の整数部分は,\ {奇数である.}$} 今度は{和を考えてみる.}の+より,\ (2+3)^n\ をa_nで表せる. (2+3)^n\ が,\ {偶数である2a_nから1未満の正数を引いたもの}であるとわかる. よって,\ 整数部分は奇数であるといえる.\ 例えば,\ 2-0.5=1.5\ である.
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高校数学A 整数
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